Page 145 - M11_2024

Решение:
◦
◦
◦
а) sin α + cos α = sin α + sin (90 − α) = 2 sin 45 . cos (α − 45 )
√
= 2 cos (α − 45 );
◦
2α − 90 ◦ α + 90 − α
◦
б) sin α − cos α = sin α − sin(90 − α) = 2 sin . cos
◦
2 2
√
= 2 sin(α − 45 ). cos 45 = 2. sin(α − 45 );
◦
◦
◦
2
2
в) sin α − cos β = (sin α − cos β)(sin α + cos β)
= (sin α − sin(90 − β)) (sin α + sin(90 − β))
◦
◦
α + β − 90 ◦ α − β + 90 ◦ α − β + 90 ◦ α + β − 90 ◦
= 2 sin . cos .2 sin . cos
2 2 2 2
= sin(α + β − 90 ). sin(α − β + 90 ) = − cos(α + β). cos(α − β).
◦
◦
Задача 2 . Да се докаже, че:
∗
а) tg 3x = tg x.tg (60 − x)tg (60 + x);
◦
◦
б) cotg 3x = cotg x.cotg (30 − x).cotg (30 + x).
◦
◦
Решение:
Като използваме формулите
sin 3x = sin x(3 − 4 sin x) и cos 3x = cos x(4 cos x − 3), получаваме:
2
2
√ √
sin 3x = sin x 3 − 2 sin x 3 + 2 sin x
√ √
3 3
= 4 sin x − sin x + sin x
2 2
= 4 sin x (sin 60 − sin x) (sin 60 + sin x)
◦
◦
60 − x 60 + x 60 + x 60 − x
◦
◦
◦
◦
= 4 sin x.2 sin cos .2 sin cos
2 2 2 2
= 4 sin x sin (60 − x) sin (60 + x) .
◦
◦
Получаваме:
(1) sin 3x = 4 sin x sin (60 − x) sin (60 + x) или
◦
◦
(2) sin 3x = 4 sin x cos (30 − x) cos (30 + x).
◦
◦
Аналогично получаваме
(3) cos 3x = 4 cos x sin (30 − x) sin (30 + x) или
◦
◦
(4) cos 3x = 4 cos x cos (60 − x) cos (60 + x).
◦
◦
sin 3x
От tg 3x = , като вземем предвид (1) и (4), получаваме а).
cos 3x
cos 3x
От cotg 3x = , като вземем предвид (2) и (3), получаваме б).
sin 3x
Задача 3 . Да се докаже, че изразът
∗
F(y; x) = cos x + cos (x + y) − 2 cos x cos y cos(x + y) не зависи от x.
2
2
144