Page 146 - M11_2024

Решение:
2
F(y;x)=cos x + cos(x + y)[cos(x + y) − 2 cos x cos y]
2
2
=cos x+cos(x+y)[− sin x sin y−cos x cos y]=cos x−cos(x+y) cos(x−y)
2
2
2
2
2
2
2
2
2

=cos x − (cos x cos y − sin x sin y)=cos x 1−cos y +sin y sin x
2
2
2
2
=sin y(cos x + sin x) = sin y.
Задачи
1. Пресметнете:
π 5π 3π π
а) sin + sin ; б) cos − cos .
12 12 8 8
2. Представете като произведение:
а) sin α − sin 3α + sin 5α;
б) cos α + cos 2α + cos 3α;
в) sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α + sin 5α;
г) cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α + cos 5α.
3. Докажете тъждествата:
cos 3α − cos 5α 1 + cos 4α cos 2α
а) = tg α. tg 4α; б) = .
cos 3α + cos 5α sin 3α − sin α sin α
4. Докажете тъждествата:
а) cos α − 2 cos 3α + cos 5α = cotg (π − 3α) .tg α;
2
sin α + 2 sin 3α + sin 5α
1 √ π
б) tg 2α + (cos α − sin α) = 2 cos − α ;
cos 2α √ 4
◦ ◦ ◦ 3.
в) tg 5 .tg 55 .tg 65 = 2 −
5. Пресметнете:
а) sin 18 ; б) sin 9 ; в) sin 42 ;
◦
◦
◦
4π 2π π π 3π
2
2
2
◦
г) 8 cos . cos . cos ; д) sin sin ; е) sin 10 . sin 50 . sin 70 .
◦
◦
9 9 9 10 10
2
2
6. Докажете, че изразът A (x) = cos 4x + sin 3x + sin x. sin 7x не зависи
от x.
7. Докажете, че ако α, β и γ са ъгли на триъгълник, то:
α β γ
а) cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin . sin . sin ;
2 2 2
α β γ
б) sin α + sin β + sin γ = 4 cos cos cos ;
2 2 2
α β γ
в) sin α − sin β + sin γ = 4 sin cos sin ;
2 2 2
2
2
2
г) sin 2α + sin 2β + sin 2γ + 2 cos 2α cos 2β cos 2γ = 2.
8. Докажете, че:
π 2π 4π 8π 16π 1
а) cos cos cos cos cos = ;
33 33 33 33 33 32
145