Page 141 - M11_2024

39 ФОРМУЛИ ЗА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ
ОТ ПОЛОВИНКА НА ЪГЪЛ

Задача 1. Даден е равнобедрен △ABC с ъгъл между бедрата α ∈ (0 ; 180 ).
◦
◦
Да се докаже геометрично, че за α са изпълнени формулите за понижаване
1 − cos 2α 1 + cos 2α
2
2
на степента sin α = и cos α = .
2 2
Решение: C
Нека k(O; R) е описаната около a
△ABC окръжност. От синусовата
теорема следва, че AB = 2R sin α.
От косинусовата теорема следва, че R O R
в △ABO: A B
2
2
2
– при α ∈ (0 ; 90 ), AB = 2R − 2R cos 2α;
◦
◦
2
2
2
– при α ∈ (90 ; 180 ), AB = 2R − 2R cos(360 − 2α) = 2R − 2R cos 2α.
2
2
◦
◦
◦
2
2
2
Ако α = 90 , то AB = 4R = 2R − 2R cos 180 .
2
◦
◦
Следователно за α ∈ (0 ; 180 ) са изпълнени равенствата
◦
◦
2
2
2
2
2
4R sin α = 2R − 2R cos 2α и sin α = 1 − cos 2α .
2
1 − cos 2α 1 + cos 2α
2 2
Т ака cos α = 1 − sin α = 1 − = .
2 2
От формулите за понижаване на степента се получават следните формули
за функциите от половината на ъгъл:
Функции на половинка ъгъл
r r
α 1 − cos α α 1 + cos α
(1) sin = ± ; (2) cos = ± ;
2 2 2 2
r r
α 1 − cos α α 1 + cos α
(3) tg = ± ; (4) cotg = ± .
2 1 + cos α 2 1 − cos α
Формулите (1) и (2) се получават, като съответно във формите за понижа-
α
ване на степента се замести α с и се коренува, а (3) и (4) – като се разделят
2
(1) и (2).
α
Знаците + или − в съответните формули зависят от стойността на .
2
Задача 2. Да се намерят sin 165 , cos 165 , tg 165 и cotg 165 .
◦
◦
◦
◦
Решение:
r
r √ p √
1 − cos 330 ◦ 1 − 3 2 − 3
sin 165 = = 2 = ;
◦
2 2 2
140