Page 138 - M11_2024

Задачи

1. Докажете, че:
tg α + tg β tg α − 1
а) + tg α tg β = 1; б) − tg α = 1.
tg (α + β) tg (α − 45 )
◦
2. Изразете чрез tg α:
а) tg (135 + α); б) tg (α − 45 ); в) tg (30 − α);
◦
◦
◦
π 5π
г) tg (α + 120 ); д) tg + α ; е) cotg − α .
◦
6 3
3. Пресметнете:
а) tg 75 ; б) cotg 105 ; в) cotg (−165 ).
◦
◦
◦
Упътване: а) 75 = 30 + 45 ; б) 105 = 60 + 45 ; в) 165 = 120 + 45 .
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
38 ФОРМУЛИ ЗА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ ОТ
УДВОЕН ЪГЪЛ
Частта от тригонометрията, която изучава промените на стойностите на тригономет-
ричните функции при променяне на ъглите, както и елементарните съотношенията между
съответните стойности на тригонометричните функции, се нарича гониометрия (от гръц-
ки γωνια – ъгъл и µǫρoν – мярка).
Вече знаем как се изразяват тригонометричните функции от сбор и раз-
лика на два ъгъла чрез тригонометричните функции на ъглите, участващи в
сбора и разликата.
За стойностите на тригонометричните функции от ъгъл 2α са в сила след-
ните тъждества:
2
2
(1) sin 2α = 2 sin α. cos α; (2) cos 2α = cos α − sin α;
2
2tg α cotg α − 1
(3) tg 2α = ; (4) cotg 2α = .
2
1 − tg α 2cotg α
Доказателство:
sin 2α = sin(α + α) = sin α. cos α + cos α. sin α = 2 sin α. cos α;
2
2
cos 2α = cos(α + α) = cos α. cos α − sin α. sin α = cos α − sin α;
tg α + tg α 2tg α
tg 2α = tg (α + α) = = ;
2
1 − tg α.tg α 1 − tg α
2
cotg α.cotg α − 1 cotg α − 1
cotg 2α = cotg (α + α) = = .
cotg α + cotg α 2cotg α
Задача 1. Да се докаже:
3
3
а) sin 3α = 3 sin α − 4 sin α; б) cos 3α = 4 cos α − 3 cos α.
Решение:
а) sin 3α = sin(2α + α) = sin 2α. cos α + cos 2α. sin α
2
= 2 sin α. cos α. cos α + (1 − 2 sin α) sin α
2
3
2
= 2 sin α(1 − sin α) + (1 − 2 sin α) sin α = 3 sin α − 4 sin α; 137