Page 134 - M11_2024

8 . Намерете всички реални числа k, за които стойността на израза
∗
2
2
2
cos α + cos β + cos (α + β) − k cos α cos β cos (α + β) не зависи нито от стой-
ността на α, нито от стойността на β.
35 ФОРМУЛИ ЗА СИНУС И КОСИНУС ОТ СБОР И

РАЗЛИКА НА ДВА ЪГЪЛА. УПРАЖНЕНИЕ

Задача 1. Да се използват формулите за синус и косинус от сбор и разлика
на два ъгъла и да се докаже, че за произволен ъгъл α са верни тъждествата:
а) sin (45 + α) = cos (45 − α); б) sin (60 + α) = cos (30 − α);
◦
◦
◦
◦
в) sin (90 − α) = cos α; г) cos (90 − α) = sin α;
◦
◦
д) cos (90 + α) = − sin α; е) sin (90 + α) = cos α;
◦
◦
ж) sin (180 + α) = − sin α; з) sin (180 − α) = sin α;
◦
◦
и) cos (180 − α) = − cos α; й) cos (180 + α) = − cos α.
◦
◦
Решение: √
2
а) От sin(45 +α)=sin 45 cos α+cos 45 sin α= (cos α + sin α) и cos (45 −α)
◦
◦
◦
◦
√ 2
2
= cos 45 cos α + sin 45 sin α = (cos α + sin α) следва, че е вярно тъждест-
◦
◦
2
вото sin (45 + α) = cos (45 − α).
◦
◦
з) sin (180 − α) = sin 180 cos α − cos 180 sin α = 0. cos α − (−1) . sin α =
◦
◦
◦
sin α;
и) cos (180 − α) = cos 180 cos α + sin 180 sin α = −1. cos α + 0. sin α =
◦
◦
◦
− cos α.
Докажете самостоятелно останалите тъждества.
Задача 2. Да се докаже, че за ъглите α, β и γ на произволен триъгълник
са верни тъждествата:
а) cos γ = sin α sin β − cos α cos β; б) sin γ = sin α cos β + cos α sin β.
Решение:
а) cos γ = cos (180 − (α + β)) = − cos (α + β) =
◦
= − (cos α cos β − sin α sin β) = sin α sin β − cos α cos β;
б) sin γ = sin (180 − (α + β)) = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
◦
Задачи
Докажете, че:
1. sin (α + β) − sin α cos β = cotg α;
cos (α − β) − cos α cos β
2. cos (α + β) + sin α cos β = cotg α;
sin α cos β
133