Page 133 - M11_2024

2. Пресметнете, като използвате събирателните формули:
а) sin 35 . cos 25 + cos 35 . sin 25 ; б) cos 40 . cos 50 − sin 40 . sin 50 ;
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
5π π 5π π 5π π 5π π
в) sin cos − cos sin ; г) cos . cos + sin . sin ;
6 6 6 6 6 3 6 3
д) sin 32 . cos 2 − cos 32 . sin 2 ; е) cos 110 cos 80 + sin 80 . sin 110 .
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
3. Пресметнете:
√
5
а) cos(45 − α), ако sin α = , а 90 < α < 180 ;
◦
◦
◦
5
7
б) sin(α − 30 ), ако cos α = и 270 < α < 360 .
◦
◦
◦
25
4. Докажете тъждеството:
а) sin(α + β). cos β + cos(α + β). sin β = sin(α + 2β);
√
б) cos α + 3 sin α = 2 sin(α + 30 );
◦
2
2
в) cos(α + β). cos(α − β) = cos α − sin β;
г) sin(α + β). cos(α − β) = sin α. cos α + sin β. cos β;
π π 1
2
д) sin 2 α − + sin 2 α + − sin α = .
6 6 2
5. Докажете, че:
√ √
π 5 10
а) β − α = , ако sin α = , cos β = и α ∈ (0 ; 90 ), β ∈ (0 ; 90 );
◦
◦
◦
◦
4 5 10
15 8
б) α + β = 90 , ако sin α = и sin β = , α ∈ (0 ; 90 ), β ∈ (0 ; 90 );
◦
◦
◦
◦
◦
17 17 √ √
1 11 3 11
в ) α + β + γ = 90 , ако sin α = , sin β = , sin γ = и
∗
◦
3 33 11
α, β, γ ∈ (0 ; 90 ).
◦
◦
6. За α ∈ (0 ; 90 ) и β ∈ (0 ; 90 ) пресметнете:
◦
◦
◦
◦
√
1 3
а) sin(α + β), ако sin α = и sin β = ;
2 2
√
3 1
б) cos(α − β), ако cos α = и cos β = ;
2 2
7 21
в) sin(α + β), ако sin α = и cos β = ;
25 29
3 12
г) cos(α + β), ако sin α = и sin β = ;
5 13
24 20
д) cos(α − β), ако cos α = и sin β = ;
25 29
12 4
е) sin(α − β), ако sin α = и cos β = .
13 5
7 . Докажете, че:
∗
√
а) cos α + 3 sin α ≦ 2;
б) sin(α + β) < sin α + sin β, α, β ∈ (0; π);
√
в) 2(sin α + cos α) ≦ 2.
132