Page 136 - M11_2024

Тук разделихме числителя и знаменателя с sin α sin β 6= 0, което е възмож-
но при α 6= kπ, β 6= kπ и α − β 6= kπ.
Аналогично се доказват и останалите формули.
Тези формули са известни като събирателни формули за тангенса и ко-
тангенса.
Задача 1. Да се намерят tg 15 и cotg 15 .
◦
◦
Решение:
За намиране стойностите на търсените тригонометрични функции ще из-
ползваме, че 15 = (45 − 30 ).
◦
◦
◦
√
3 √
tg 45 − tg 30 ◦ 1 − 3 − 3 √
◦
3
tg 15 = tg (45 − 30 ) = = √ = √ = 2 − 3;
◦
◦
◦
1 + tg 45 .tg 30 ◦ 3 3 + 3
◦
1 +
3
1 1 √
cotg 15 = = √ = 2 + 3.
◦
tg 15 ◦ 2 − 3
Задачи
1
1. Пресметнете tg(α − β), ако cotg α = и tg β = 1.
3
2. Пресметнете tg(α + β), ако:
7 3
а) tg α = 2, tg β = 3; б) sin α = , sin β = .
25 5
◦
tg 70 + tg 50 ◦
3. Пресметнете , като използвате събирателните формули.
1 − tg 70 .tg 50 ◦
◦
4. Пресметнете стойностите на тригонометричните функции, като пред-
ставите съответните ъгли като сума или разлика на познати ъгли:
5π 11π
◦
◦
а) tg 300 ; б) cotg (−600 ); в) tg ; г) cotg .
12 6
5. Докажете тъждеството:
cos (α + β) . cos β − sin (α + β) . sin β
а) = cotg (α + 2β);
sin (α + β) . cos β + cos (α + β) . sin β
б) tg (β − α) + tg α − tg β = tg α.tg β.tg (α − β);
2
2
tg α − tg β
в) = tg (α + β) .tg (α − β).
2
2
1 − tg α.tg β
π
∗
6 . Докажете, че ако α + β + γ = , то:
2
а) tg α.tg β + tg β.tg γ + tg γ.tg α = 1;
б) cotg α + cotg β + cotg γ = cotg α.cotg β.cotg γ.
π

Упътване: а) Използвайте, че tg − γ = cotg (α + β).
2
1
7 . Докажете, че tg α.tg (60 − α) ≦ , при α ∈ (0 ; 60 ).
◦
◦
∗
◦
3
135