Page 140 - M11_2024

α α
2tg 1 − tg 2
Получените формули sin α = 2 α и cos α = 2 са познати
α
1 + tg 2 1 + tg 2
2 2
като универсални субституции.
Задача 4. Да се докаже тъждеството
x x 2 x
(sin x + cos x) 1 + tg 2 = tg + 1 − 2tg 2 .
2 2 2
Решение:

x 2 x
 
2tg 1 − tg
x x
(sin x + cos x) 1 + tg 2 =  2 x + x 1 + tg 2
2 
2 1 + tg 2 1 + tg 2 2
2 2
x x x 2 x
= 2tg + 1 − tg 2 = tg + 1 − 2tg 2 .
2 2 2 2
Задачи

1. Пресметнете:
π π
2
2
а) 2 sin 15 cos 15 ; б) sin . cos ; в) cos 22 30 sin 22 30 ;
◦
◦
′
◦
◦
′
8 8
2
4
4
2
г) sin 75 − cos 75 ; д) cos 15 − sin 15 .
◦
◦
◦
◦
2. Опростете израза:
α α α α
а) 2 sin cos ; б) cos 2 − sin 2 ;
16 16 4 4
в) cos 2α − 4 sin α. cos α; г) 4 cos α sin α − 4 sin α cos α.
3
2
2
2
3
5 sin 2α √
3. Пресметнете стойността на израза , ако cotg α = 3,
2
sin α + 3 cos 2α
π
α ∈ 0; .
2
α 12
◦
◦
4. Пресметнете sin α, cos α и tg α, ако sin = , а 180 < α < 270 .
2 13
5. Пресметнете sin 2α, cos 2α и tg 2α, ако sin α = 0, 8, а 90 < α < 180 .
◦
◦
6. Докажете тъждеството:
tg 2α.tg α tg α
а) = sin 2α; б) = cos 2α.
tg 2α − tg α tg 2α − tg α
2
3 tg α + 10 tg α + 3
7. Докажете, че = 3 + 5 sin 2α.
2
1 + tg α
n
8 . Опростете израза cos α cos 2α . . . cos 2 α.
∗
139