Page 137 - M11_2024

2
8 . Числата tg α и tg β са корени на квадратното уравнение x +px+q = 0.
∗
Намерете стойността на израза
2
2
sin (α + β) + p sin (α + β) cos (α + β) + q cos (α + β).
37 ФОРМУЛИ ЗА ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ОТ СБОР И

РАЗЛИКА НА ДВА ЪГЪЛА. УПРАЖНЕНИЕ

Задача 1. Да се използват формулите за тангенс и котангенс от сбор и
разлика на два ъгъла и да се докаже верността на дадените тъждества за
всеки ъгъл α, за който те имат смисъл:
а) tg(90 − α) = cotg α; б) cotg (90 − α) = tg α;
◦
◦
в) tg(90 + α) = −cotg α; г) cotg (90 + α) = − tg α;
◦
◦
д) tg(45 + α) = cotg (45 − α); е) cotg (45 + α) = tg (45 − α).
◦
◦
◦
◦
Решение:
◦
tg 45 + tg(45 − α)
◦
а) tg(90 − α) = tg(45 + (45 − α)) = =
◦
◦
◦
1 − tg 45 tg(45 − α)
◦
◦
1 − tg α
1 +
1 + tg(45 − α) 1 + tg α 1 + tg α + 1 − tg α 2 1
◦
= = = = = = cotg α;
1 − tg(45 − α) 1 − tg α 1 + tg α − 1 + tgα 2 tg α tg α
◦
1 −
1 + tg α
cotg 90 cotg α − 1 0.cotg α − 1 −1
◦
г) cotg (90 + α) = = = = − tg α.
◦
cotg α + cotg 90 ◦ cotg α + 0 cotg α
Докажете самостоятелно останалите тъждества.
Задача 2. Да се докаже, че за ъглите α, β и γ на един триъгълник са верни
тъждествата:
1 − cotg αcotg β
а) cotg γ = ;
cotg α + cotg β
tg α + tg β
б) tg γ = , ако триъгълникът не е правоъгълен.
tg α tg β − 1
Решение:
Тъй като α, β и γ са ъгли на един триъгълник, то α + β + γ = 180 . Следо-
◦
вателно:
cotg αcotg β − 1
◦
а) cotg γ = cotg (180 − (α + β)) = −cotg (α + β) = − =
cotg α + cotg β
1 − cotg αcotg β
= ;
cotg α + cotg β
tg α + tg β tg α + tg β
◦ .
б) tg γ = tg (180 − (α + β)) = − tg (α + β) = − =
1 − tg α tg β tg α tg β − 1
136