Page 132 - M11_2024

Нека C е такава точка от k, че < MOC =< BOA = α − β, т.е.
)
)
A(cos α, sin α), B(cos β, sin β), C(cos(α − β), sin(α − β)), M(1, 0).
Триъгълниците MOC и BOA са еднакви, следователно AB = MC. При-
лагаме доказаната по-горе лема и получаваме:
2
2
(3) AB = (cos β − cos α) + (sin β − sin α) 2
2
2
2
2
= cos β − 2 cos β cos α + cos α + sin β − 2 sin β sin α + sin α
= 2 − 2(cos β cos α + sin β sin α);
2
2
(4) MC = [cos(α − β) − 1] + [sin(α − β) − 0] 2
= cos (α − β) − 2 cos(α − β) + 1 + sin (α − β) = 2 − 2 cos(α − β).
2
2
От (3) и (4) получаваме
2 − 2(cos β cos α + sin β sin α) = 2 − 2 cos(α − β),
cos(α − β) = cos β cos α + sin β sin α.
Останалите формули ще изведем като използваме (2):
cos(α + β) = cos[α − (−β)] = cos α. cos(−β) + sin α. sin(−β)
= cos α. cos β − sin α. sin β;
sin(α + β) = cos[90 − (α + β)] = cos[(90 − α) − β]
◦
◦
= cos(90 −α). cos β+sin(90 −α). sin β = sin α. cos β+cos α. sin β;
◦
◦
sin(α − β) = sin[α + (−β)] = sin α. cos(−β) + cos α. sin(−β)
= sin α. cos β − sin β. cos α.
Задача 1. Да се намерят sin 15 и cos 15 .
◦
◦
Решение:
За намиране стойностите на търсените тригонометрични функции ще из-
ползваме, че 15 = 45 − 30 .
◦
◦
◦
sin 15 = sin(45 − 30 ) = sin 45 cos 30 − cos 45 sin 30 ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
√ √ √ √ √
2 3 2 1 6 2
= − = − ;
2 2 2 2 4 4
cos 15 = cos(45 − 30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
√ √ √ √ √
2 3 2 1 6 2
= + = + ;
2 2 2 2 4 4
√
Задача 2. Да се докаже, че 3 cos α − sin α ≦ 2.
Решение:
Разделяме почленно двете страни на неравенството с 2 и получаваме
√ √
3 1 3 1
◦
◦
cos α − sin α ≦ 1. Можем да използваме, че sin 60 = , а cos 60 = .
2 2 2 2
Тогава неравенството, което трябва да докажем, е еквивалентно на
sin 60 cos α − cos 60 sin α ≦ 1 ⇔ sin (60 − α) ≦ 1.
◦
◦
◦
Задачи
1. Пресметнете стойностите на тригонометричните функции, като пред-
ставите съответните ъгли като сума или разлика на познати ъгли:
3π 4π
◦
◦
а) sin 225 ; б) cos 405 ; в) sin ; г) cos .
4 3
131