Page 131 - M11_2024

34 ФОРМУЛИ ЗА СИНУС И КОСИНУС ОТ СБОР
И РАЗЛИКА НА ДВА ЪГЪЛА

За произволни ъгли α и β са в сила формулите:

sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β; sin(α−β)=sin α cos β−cos α sin β;
cos(α+β)=cos α cos β−sin α sin β; cos(α−β)=cos α cos β+sin α sin β.

Тези формули са известни като събирателни формули за синуса и косину-
са.
За да ги докажем, ще ни помогне следната лема:

Лема
Ако A(x a ; y a ) и B(x b ; y b ) са две точки в една координатна
система, то
q
2
2
(1) AB = (x b − x a ) + (y b − y a ) .
Доказателство: Триъгълникът
ABC е правоъгълен, следователно
2
2
AB = AC + BC .
2
От AC = |x b − x a | и BC = |y b − y a |
2 2
получаваме AB = |x b − x a | + |y b −
2
2
2
y a | = (x b − x a ) + (y b − y a ) , откъде-
то следва (1). За да докажем тъждес-
твото
(2) cos(α−β) = cos α cos β+sin α sin β,
ще разгледаме ъглите
< MOA = α и < MOB = β, където точките A, B и M лежат на тригономет-
)
)
ричната окръжност k (с център O и радиус 1).
Независимо от мерките на α и β
< BOA = α − β. Ще отбележим, че
)
в случая, когато < BOA = α − β +
)
k.360 (k = 0, ±1, ±2, . . .), доказател-
◦
ството се извършва по същия начин,
тъй като cos(α − β) = cos(α − β +
k.360 ) и sin(α − β) = sin(α − β +
◦
k.360 ).
◦
130