Page 139 - M11_2024

б) cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α. cos α − sin 2α. sin α
2
= (2 cos α − 1). cos α − 2 sin α. cos α. sin α
2
2
= (2 cos α − 1). cos α − 2 cos α(1 − cos α)
3
= 4 cos α − 3 cos α.
Като използваме тъждество (2) и тъждеството sin α + cos α = 1, получа-
2
2
2
2
ваме: cos 2α = 2 cos α − 1 и cos 2α = 1 − 2 sin α.
Пряко следствие от тези равенства са формулите:
1 + cos 2α 1 − cos 2α
2
2
(5) cos α = ; (6) sin α = ,
2 2
които се наричат формули за понижаване на степента.
Задача 2. Да се пресметне:
π 7π
◦
◦
◦
а) sin 15 . sin 75 ; б) cos . sin ; в) cos 20 . cos 40 . cos 60 . cos 80 .
◦
◦
◦
8 8
Решение:
2
а) sin 15 . sin 75 = sin 15 . sin(90 − 15 ) = sin 15 . cos 15 = sin 15 . cos 15 ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
2
1 1
= sin 30 = ;
◦
2 4
π 7π π π 2 π π 1 2π 1 π
б) cos . sin = cos sin π − = cos sin = sin = sin
8 8 8 8 2 8 8 2 8 2 4
√ √
1 2 2
= = ;
2 2 4
2 sin 20 . cos 20 . cos 40 . cos 60 . cos 80 ◦
◦
◦
◦
◦
в) cos 20 . cos 40 . cos 60 . cos 80 =
◦
◦
◦
◦
2 sin 20 ◦
sin 40 . cos 40 . cos 60 . cos 80 2 sin 80 . cos 60 cos 80 2
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
= . = .
2 sin 20 ◦ 2 4 sin 20 ◦ 2
1
◦
◦
sin 160 . cos 60 ◦ sin (180 − 20 ) . sin 20 ◦ 1
◦
= = 2 = = .
8. sin 20 ◦ 8 sin 20 ◦ 16 sin20 ◦ 16
α
Задача 3. Да се изразят sin α и cos α чрез tg .
2
Решение:
α α α α
Ще използваме тъждествата sin α = 2 sin cos , cos α = cos 2 − sin 2 и
α 2 α 2 α 2 2 α 2
2 sin cos cos 2 − sin
α α
2
sin 2 + cos 2 = 1. Тогава sin α = α 2 2 α и cos α = α 2 α .
2 2 sin 2 + cos 2 sin 2 + cos 2
2 2 2 2
Разделяме числителя и знаменателя почленно с cos 2 α (при cos α 6= 0) и по-
лучаваме 2 2
α α
2 sin cos
2 2
α α α
cos 2 2tg 1 − tg 2
sin α = α 2 α = 2 α и аналогично cos α = 2 .
α
sin 2 + cos 2 1 + tg 2 1 + tg 2
2 2 2 2
α
cos 2
2
138