Page 144 - M11_2024

◦
sin 12 ◦ 2 sin 24 . cos 24 . cos 48 ◦
◦
= 2 cos 24 .2. cos 48 . cos 12 . =
◦
◦
◦
sin 12 ◦ sin 12 ◦
sin 48 . cos 48 ◦ sin 96 ◦ sin (90 + 6 ) 1
◦
◦
◦
= = = = .
sin 12 ◦ 2 sin 12 ◦ 4 sin6 cos 6 ◦ 4 sin 6 ◦
◦
Задачи
1. Пресметнете:
а) sin 75 + sin 15 ; б) cos 105 + cos 15 .
◦
◦
◦
◦
2. Пресметнете:
π 5π 3π π
а) sin − sin ; б) cos − cos .
12 12 8 8
3. Представете като произведение:
√
3
а) sin α + 1; б) 1 + cos α; в) + cos α;
√ √ 2 √
г) 3 + 2 cos 2α; д) 3 − 2 sin 4α; е) 3 + 4 sin α cos α.
4. Опростете израза:
а) sin α. cos α + sin β cos β − 2 cos(2α + β);
б) cos β − cos(2α − β) + cos 3β − 2 cos(2α + β);
в) cos α + cos β − 2 cos α. cos β. cos(α + β).
2
2
5. Представете във вид на произведение израза:
а) 1 + sin α − cos α; б) cos 5α + sin 6α − cos 7α;
в) sin α + sin 2α + sin 3α; г) cos β − sin β.cotg α.
2
2
2
6. Докажете тъждеството:
cos 3α − cos 5α 1 + cos 4α cos 2α
а) = tg α tg 4α; б) = .
cos 3α + cos 5α sin 3α − sin α sin α
7. Докажете тъждеството:
α − β
2
2
а) (sin α + sin β) + (cos α + cos β) = 4 cos 2 ;
2
б) sin 2α + sin 4α + sin 6α = 4 cos α. cos 2α. sin 3α;
2
2
sin α sin β
в) − = sin (α + β);
sin (α − β) sin (α − β)
г) cos 24 + cos 48 − cos 12 − cos 84 = 0, 5.
◦
◦
◦
◦
41 ФОРМУЛИ ЗА СБОР И ПРОИЗВЕДЕНИЕ НА
ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ. УПРАЖНЕНИЕ
Ще разгледаме няколко приложения в задачи на формулите за преобра-
зуване на тригонометрични изрази.
Задача 1. Да се докаже тъждеството:
√ √
а) sin α + cos α = 2 cos (α − 45 ); б) sin α − cos α = 2 sin (α − 45 );
◦
◦
2
2
в) sin α − cos β = − cos (α − β) cos (α + β).
143