Page 147 - M11_2024

2π 4π 8π 16π 32π 1
б) cos cos cos cos cos = .
31 31 31 31 31 32
Упътване: Използвайте неколкократно формулата sin 2α = 2 sin α cos α,
като за целта предварително умножите двете страни на равенствата с подхо-
дящ множител.

ЗАДАЧИ КЪМ ТЕМА 3

2
2
2
1. Опростете израза sin α+sin (90 − α)+cos (90 + α)+cos (180 − α).
2
◦
◦
◦
2. Пресметнете стойността на израза
2
◦
2 sin α + 4 sin (180 − α) cos (180 − α) + 1 , ако tg α = .
1
◦
2
4 sin (90 + α) − 7 sin (90 + α) cos (90 − α) − 1 2
◦
◦
◦
3 . Докажете, че:
∗
2π 4π 6π 8π 10π 1
а) cos + cos + cos + cos + cos = − ;
11 11 11 11 11 2
tg 12 ◦ tg 24 ◦ tg 48 ◦ tg 96 ◦
б) + + + = 0;
cos 24 ◦ cos 48 ◦ cos 96 ◦ cos 192 ◦
9π 13π 15π 16π 1
в) cos cos cos cos = ;
17 17 17 17 16
3
2
г) cos 20 + cos 40 + cos 100 = ; д) 1 − 1 + 1 = 4;
2
2
◦
◦
◦
2 cos π cos 2π cos 3π
7 7 7
3π π 1 π π 8π π
е) sin − sin = ; ж) 8 sin sin sin = tg ;
10 10 2 21 7 21 7
√
1 3
з) − cos 100 = sin 100 ;
◦
◦
4 sin 40 cos 10 ◦ 3
◦
√
π 7π 13π 19π 25π 3
и) cos cos cos cos cos = .
30 30 30 30 30 32
4 . Докажете, че ако α, β и γ са ъгли на триъгълник, то:
∗
γ (sin β + sin γ − sin α) (sin γ + sin α − sin β)
а) sin 2 = ;
2 4 sin α sin β
cos α cos β cos γ
б) + + = 2;
sin β sin γ sin α sin γ sin α sin β
в) sin α sin (β − γ) + sin β sin (γ − α) + sin γ sin (α − β) = 0;
5α 5β 5γ
г) sin 5α + sin 5β + sin 5γ = 4 cos cos cos ;
2 2 2
д) sin 6α + sin 6β + sin 6γ = 4 sin 3α sin 3β sin 3γ.
5 . Ако за ъгъла α е дадено, че sin α − cos α = m, намерете стойността на
∗
израза sin 4α + sin 10α − sin 6α .
2
cos 2α + 1 − 2 sin 4α
146