Page 143 - M11_2024

1
(2) cos α. cos β = (cos (α − β) + cos (α + β));
2
1
(3) sin α. sin β = (cos (α − β) − cos (α + β)).
2
Ще докажем (1). Останалите формули се доказват аналогично.
1
(sin (α − β) + sin (α + β))
2
1
= ((sin α. cos β − cos α. sin β) + (sin α. cos β + cos α. sin β))
2
1
= 2 sin α. cos β = sin α. cos β.
2
Формули за преобразуване на сбор или разлика от тригонометрич-
ни функции в произведение
α + β α − β
(4) sin α + sin β = 2 sin cos ;
2 2
α − β α + β
(5) sin α − sin β = 2 sin cos ;
2 2
α + β α − β
(6) cos α + cos β = 2 cos cos ;
2 2
α + β α − β
(7) cos α − cos β = −2 sin sin .
2 2
Ще докажем (4). Останалите формули се доказват аналогично.

α + β α − β 1 α + β α − β α + β α − β
2 sin cos = 2. sin − + sin + =
2 2 2 2 2 2 2
= sin β + sin α = sin α + sin β
Задача 1. Да се представи във вид на произведение изразът:
а) sin α + cos α; б) sin α − cos α.
Решение:
За решението на задачата използваме, че cos α = sin(90 − α), формули
◦
(4) за а) и (5) – за б).
α + 90 − α α − (90 − α)
◦
◦
а) sin α + cos α = sin α + sin (90 − α) = 2 sin cos
◦
√ 2 2
= 2 sin 45 . cos (α − 45 ) = 2. cos (α − 45 ) ;
◦
◦
◦
α − (90 − α) α + 90 − α
◦
◦
б) sin α − cos α = sin α − sin (90 − α) = 2 sin cos
◦
√ 2 2
◦
= 2 sin (α − 45 ) . cos 45 = 2. sin (α − 45 ) .
◦
◦
Задача 2. Да се опрости изразът:
а) sin(α + β) + cos(α + β); б) cos 24 + cos 48 + cos 60 + cos 72 .
◦
◦
◦
◦
Решение:
а) sin (α + β) + cos (α + β) = sin(α + β) + sin (90 − α − β)
◦
α + β + 90 − α − β α + β − (90 − α − β)
◦
◦
= 2 sin cos
2 √ 2
= 2 sin 45 . cos (α + β − 45 ) = 2. cos (α + β − 45 ) ;
◦
◦
◦
б) cos 24 + cos 48 + cos 60 + cos 72 = cos 24 + cos 60 + 2 cos 60 . cos 12 ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
= cos 24 + 2 cos 36 . cos 24 = 2 cos 24 (0, 5 + cos 36 )
◦
◦
◦
◦
◦
142