Page 7 - M11_2024

Неравенства
За решаване на неравенства от вида A(x) > 0, A(x) ≧ 0, A(x) < 0 или
A(x) ≦ 0, където A(x) е разложим многочлен, се използва методът на интер-
валите.
A(x) A(x) A(x)
За решаване на неравенства от вида > 0, ≧ 0, < 0 или
B(x) B(x) B(x)
A(x) ≦ 0 се използва съответната теорема за еквивалентност, например за
B(x)

A(x) A(x)B(x) ≦ 0
≦ 0 ⇔ .
B(x) B(x) 6= 0

Задачи

1. Определете допустимите стойности на израза:
√ √
2
2
x + 1 −x + 8x − 15 4 − x
а) ; б) ; в) √ .
2
(x − 16) (x − 7) x − 6x + 8 −x + 8x − 15
2
2
2. Намерете стойността на x, за която дробта е нула:
2
2
(5x − 1) − 36 x + 15x + 36 5 + x 2 5 − x 2
а) ; б) ; в) .
2
x + 7 x − 1 25 − x 2
3. Съкратете дробта:
2
3
2
2
x − 5 2x − x − 1 x + 2x + 2x + 1
а) ; б) ; в) .
2
3
4
x − 10x + 25 1 − x 3 x + 1
5x − 7
4. Ако дробта е равна на 1, при x = 10, определете при кои стой-
x + 3a
ности на x тази дроб е равна на 3.
5. Решете уравнението:
x + 3 x − 3 1 x + 56 1 18
а) + = 3 ; б) + = ;
2
2
x − 3 x + 3 3 9x − 16 8 − 6x 3x + 4x
√ √ √
в) 24 − 10x = 3 − 4x; г) 2x + 5 + x − 1 = 8;
p √ √
д) 11 + x − 7 = 3; е) x + 3x + 4 x + 3x − 6 = 18;
2
2
r
r
√ √ x x + 1
ж) x + 6x + 9 + x − 4x + 4 = 5; з) + 2 = 3.
2
2
x + 1 x
6. Опростете израза за допустимите стойности на a, x и y.
√
3 + a 3 − a p
2
а) √ √ + √ ; б) y − 8y + 16 − |y − 8| + 2, y > 8;
2
3 + a − 3 − a 9 − a − 3 + a
√ x + √ y 3 − x x + 2y y 5 xy − 5y √
√
√
√
в) √ √ ; г) + √ 5 x √ .
x x − y y x − y x + y
6