Page 11 - M11_2024

Решение:
AB √
От синусова теорема имаме, че = 2R ⇔ AB = 6 3 cm. Нека AC =
sin < C
)
2
2
2
BC = x, тогава от косинусова теорема имаме, че AB = 2x − 2x cos 120 =
◦
√
2
2
3x ⇔ x = 6 cm, а лицето е S = AC.BC. sin 120 ◦ = 9 3 cm .
2
Задача 3. Да се докажете, че за лицето S на триъгълник с ъгли α, β и ра-
диус на описаната окръжност R, е вярно, че S = 4R sin α sin β sin(α+β). Ако
2
√
3( 3 + 1)
S = , R = 3, α = 30 и β = 45 , то да се намери синусът на третия
◦
◦
2
ъгъл на триъгълника.
Упътване: Използвайте синусова теорема, за да докажете формулата. От
равенството sin γ = sin(180 − γ) и доказаната формула намерете синуса на
◦
третия ъгъл.
Задачи
1. Основата на равнобедрен триъгълник е 4, а тангенсът на ъгъла при
√
основата е 7. Намерете медианата към бедрото.
2. В △ABC, < A = 45 , < C = 60 , BC = 5. Намерете периметъра и лице-
)
)
◦
◦
то на триъгълника.
√
3. В △ABC, < A = 90 , BC = 20, а височината AH = 5 3 и < C >< B.
)
)
)
◦
Намерете радиуса на описаната около △AHB окръжност.
4. В △ABC, < A = 45 , AB = 8, AC = 5. Намерете периметъра и лицето
◦
)
на триъгълника.
5. Радиусът на описаната около △ABC окръжност има дължина 8 cm.
Намерете страната AB и лицето на △ABC, ако AC = BC и < ACB = 150 .
)
◦
6. Дължините на катетите на правоъгълен триъгълник са a = 15 cm и
b = 20 cm. Намерете дължините на m b , R, r и l a и косинуса на ъгъла между c
и m b .
7. Страните на триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика 2.
√
15 3
2
Ако лицето на триъгълника е S = cm , намерете периметъра му.
4
√
2 1
8. Синусите на два от ъглите на триъгълник са съответно ; . Намере-
те ъглите на триъгълника. 2 2
√
9. В △ABC, AB = 3, AC = 3, < BAC = 120 . Намерете ъглополовящата
)
◦
AL.
√
10. В △ABC, AB = 3, BC = 6 3, <) ABC = 135 . Намерете медианата
◦
AM.
10