Page 16 - M11_2024

3. Вярно ли е равенството:
r
√ √ √ p √ 17 2
а) 3 −125 = 25; б) 3 1331 = 11; в) −5 3 (−2) = 10; г) 3 0 − 3 4 = 1 ?
3
27 3
4. Сравнете числата:
√ √ √ √ √ p
а) 3 −7 и 3 −9; б) 2 и 3 9; в) −4 и 3 −63; г) 3 −216 и 3 (−2) .
2
5. Докажете неравенството:
√ √ √ √
а ) 3 2 + 2 > 2; б) 3 16 − 3 8 > 0;
∗
√ √ √
в) 12 − 6 0, 125 > 0; г) −4 27 + 4 −27 < 0.
3
3
3
2 КОРЕН n-ти. СВОЙСТВА

Понятието корен n-ти

Изучихме действието коренуване с коренен показател две и три. Сега ще
разгледаме по-общото понятие корен n-ти.

Определение
Нека a ≧ 0 е реално число и n ≧ 2 е естествено число.
Неотрицателното реално число b, за което b = a, се нарича корен
n
n-ти от a.
√
Записва се b = n a, където a е подкоренна величина, а n – коренен пока-
зател.
Възниква въпросът съществува ли такова число b и ако съществува, дали
е единствено? Отговор на този въпрос дава следната теорема:

Теорема
За всяко неотрицателно реално число a и всяко естест-
вено число n ≧ 2 съществува единствено неотрицателно число b, за
което b = a.
n
Доказателството на теоремата изисква знания, които не се разглеждат в
училищния курс по математика.
√
От теоремата следва, че n a съществува и е еднозначно определен. На-
пример:
√ √
3
4
3 8 = 2, защото 2 > 0 и 2 = 8; 4 81 = 3, защото 3 > 0 и 3 = 81.
√
! Обърнете внимание, че (−3) = 81, но 81 не може да е (−3), за-
4
4
щото −3 < 0.
15