Page 17 - M11_2024

Свойства
Някои от свойствата на корен n-ти са аналогични на свойствата на корен
квадратен и на корен трети.
От определението за корен n-ти следват:

Свойство 1 √
( a) =a, при a≧0 реално число и n≧2 – естествено число.
n
n

Свойство 2 √
n a = a, при a≧0 реално число и n≧2 – естествено число.
n

От определението за корен n-ти и свойства 1 и 2 следват други свойства,
чрез които се извършват действия с корени.

Свойство 3
√ √ √
n
Ако a ≧ 0 и b ≧ 0, то n ab = n a. b, при a и b реални числа,
n ≧ 2 – естествено число.

∗
Доказателство: За да докажем свойството, ще използваме определени-
ето за корен n-ти. Достатъчно е да покажем, че при a ≧ 0 и b ≧ 0, произведе-
нието √ √ √ √ n
a b ≧ 0 и ( a b) = ab.
n
n
n
n
√ √
От определението следва, че при a ≧ 0 и b ≧ 0, n a ≧ 0 и n b ≧ 0. Тогава
√ √
n
n a b ≧ 0. От правилото за степенуване и определението получаваме
√ √ √ √
n
n
n
( a b) = ( a) ( b) = ab.
n
n
n
n
С това свойството е доказано.
∗
Следствия
√
1. Ако a, b, c, . . . , p са неотрицателни реални числа, то n abc . . . p =
√ √ √ √
n
n
n a. b c . . . n p, при n ≧ 2 – естествено число.
√ √
n
2. Ако a ≧ 0 и b ≧ 0 са реални числа, то n a .b = a b – изнасяне на
n
множител пред корен.
√ √
n
n
3. Ако a ≧ 0 и b ≧ 0 са реални числа, то a b = n a b – внасяне на
множител под корен.
16