Page 22 - M11_2024

! Корен n-ти съществува:
при n четно, само за неотрицателни числа;
при n нечетно, за всяко реално число.

Това определя допустимите стойности на ирационалните изрази. Множес-
твото от всички допустими стойности за даден израз образува дефиницион-
ната му област.
Задача 1. Да се определи дефиниционната област на израза:
r
√ x + 1
а) 4 x − 6x + 8; б ) 5 .
2
∗
x + 7x + 12
2
Решение:
r
√ x + 1
а) 4 x − 6x + 8 б) 5
2
x + 7x + 12
2
Коренният показател е четно Коренният показател е нечетно
число и затова число и затова
2
2
D : x − 6x + 8 ≧ 0. D : x + 7x + 12 6= 0.
Решенията на квадратното Корените на квадратното уравнение
2
неравенство са всички числа от x +7x+12 = 0 са x 1 = −3 и x 2 = −4.
интервалите (−∞; 2] и [4; +∞).
Изразът е дефиниран за Изразът е дефиниран за всяко
x ∈ (−∞; 2] ∪ [4; +∞). x 6= −3 и x 6= −4.
Действия с ирационални изрази
Действията с изрази, които съдържат корен n-ти, са аналогични на дейст-
вията с квадратни корени. И при тях са в сила познатите формули за съкра-
тено умножение, свойствата за преобразуване на рационални изрази и свойс-
твата на корен n-ти.
Задача 2. Да се изнесат всички възможни множители извън корена:
q
p √
а) 3 −125m n p ; б) 4 3a ( 2 − 1) .
4
4
6 9 2
Решение:
p p p
а) 3 −125m n p = 3 (−5) (m ) (n ) p = −5m n p ;
3
3 3 2
6 9 2
2 3 3
2 3
2
q
√ √ √ √ √ √
4
б) 4 3a ( 2 − 1) = |a|| 2 − 1| 3 = |a|( 2 − 1) 3, защото 2 − 1 > 0 и
4
4
4
√ √
| 2 − 1| = 2 − 1.
Задача 3. Да се внесе под корена множителят пред него:
r
r
2 3a 2 4 2b 3
а ) −5 5 ; б) , при b > 0 и a > 0.
∗
625 b 9a 3
Решение:
r r r r
r
2 5 2(−5) 5 2.(−5) 5 √ 2 5 2.5 5 √
5
5
а) −5 5 = = 5 = −10 или −5 5 =− =− 10.
625 5 4 (−5) 4 625 5 4
21