Page 20 - M11_2024

Формулираните свойства от 1. до 8. за корен n-ти остават в сила и при n
нечетно число и a отрицателно.

Свойства

Нека n е нечетно естествено число и n 6= 1.
√
1 .( a) = a при всяко реално число a.
n
n
′
√
2 . a = a при всяко реално число a.
n
n
′
√ √ √
n
n
3 . a.b = n a. b при всеки две реални числа a и b.
′
√
q a n a
4 . n = √ при всеки две реални числа a и b, b 6= 0.
′
b n b
√ √
n
5 . a m = ( a) m при всяко реално число a и m ≧ 2 – естествено
n
′
число.
p √ √
6 . m n a = mn a при всяко реално число a и m > 2 – нечетно естес-
′
твено число.
√
√ nk
n
7 . a m = a mk при всяко реално число a, естествени числа m и k,
′
за които m ≧ 2 и k нечетно число.
√ √
8 . Ако a < b, то n a < n b при всеки две реални числа a и b.
′
∗
√ √
Доказателство: (свойство 8 ) Ако a < 0 ≦ b, то n a < 0 и n b ≧ 0. Следо-
′
вателно √ a < √ b.
n
n
√ √ √ √
Ако a < b < 0, то n a = − −a и n b = − −b. Но от 0 < −b < −a
n
n
√
√
√
и свойство 8 получаваме n −b < √ −a, откъдето − −b > − −a, т.е.
n
n
n
√ √ √ √
− −a < − −b или n a < n b.
n
n
∗
Задача 1. Да се пресметне:
r
q p √ √ 64
а) 5 (−2) ; б) 3 −625; в) 5 −128; г) 5 − .
20
243
Решение:
q √
p p
а) 5 (−2) 20 = 10 2 20 = 10 (2 ) = 2 = 4;
2
2 10
√ √ p √ √ p
б) 3 −625 = 3 −125.5 = 3 (−5) .5 = −5 5 или 3 −625 = 3 125.(−5)
3
3
p √ √
3
3
3
= 3 5 .(−5) = 5 −5 = −5 5;
√ √ p √ √ p
в) 5 −128 = 5 −32.4 = 5 (−2) .4 = −2 4 или 5 −128 = 5 (−2) 7
5
5
√
p
5
2
5
= 5 (−2) .(−2) = −2 4;
r r r r
5
5
64 5 (−2) .2 √ 64 5 2 .(−2) 2 √ √
г) 5 − = = − 2 5 2 или 5 − = = 5 −2=− 2 5 2.
243 3 5 3 243 3 5 3 3
Задача 2. Да се определи множеството от стойности на:
а) √ x, ако 1 ≦ x ≦ 8; б) √ x, ако 0 ≦ x ≦ 1.
3
4
Решение:
√ √ √ √
3 3 3 3
а) От 1 ≦ x ≦ 8 ⇒ 1 ≦ x ≦ 8 ⇒ 1 ≦ x ≦ 2;
19