Page 25 - M11_2024

Избраният израз е такъв, че знаменателят да съдържа под радикала ед-
ночлен на пета сепен.
√ √ √ √ √ √ √
2 2(( 4) + 4 + 1) 2( 2 + 2 + 1)
3 3 3 2 3 3 3 4 3 2
б) √ = √ √ √ = √
3 3 3 2 3 3 3 3
4 − 1 ( 4 − 1)(( 4) + 4 + 1) ( 4) − 1
√ √ √ √ √
3
3 2 + 3 2 + 3 2 2 2 + 2 + 3 2
2
5
3
= = ;
3 3
√ √
3
5 5( 2 + 3 3)
в) √ √ √ = √ √ √ √ √ √
3 3 6 + 3 9 3 2 3 3 3 2 3 3
4 − ( 2 − 2 3 + 3 )( 2 + 3)
√ √ √ √
3
5( 2 + 3 3) 5( 2 + 3 3) √ √
3
3
3
= √ √ = = 2 + 3;
3
( 2) + ( 3) 3 5
3
3
3
3
В б) и в) избраният израз допълва знаменателя до формула за a ± b .
√ √ √ √
1 4 a − 1 4 a − 1 ( a − 1)( a + 1)
4
г) √ = √ √ = √ = √ √
2
4
4 a + 1 ( a + 1)( a − 1) ( a) − 1 ( a − 1)( a + 1)
4
4
√ √ √
4 a + 4 a − a − 1
3
= , при a ≧ 0 и a 6= 1.
a − 1
По аналогичен начин дробните изрази с радикали в числителя могат да се
преобразуват в дроби с числител рационален израз, т.е. да се рационализира
числителят на дадена дроб.
Задача 2. Да се рационализира числителят на дробта:
√ √ √ √ √
4
4
7 a
4
3
7
а ) √ , при a 6= 0 и b 6= 0; б) 6 − 1 ; в) 27 + 3 9 + 3 3 + 1 .
∗
7
b 5 8
Решение:
√ √ √ √
7
7
7 a 7 a a 6 7 a 7 7a
7
7
а) √ = √ √ = √ = √ , при a 6= 0 и b 6= 0;
7 7 7 6 7 6 7 6
b b a a b a b
√ √ √ √ √
3
3
3 6 − 1 ( 6 − 1)( 36 + 3 6 + 1) ( 6) − 1 1
3
3
б) = √ √ = √ √ = √ √ ;
5 5( 36 + 3 6 + 1) 5( 36 + 3 6 + 1) 3 36 + 3 6 + 1
3
3
√ √ √ √ √ √ √
3
4
4 27 + 3 9 + 3 3 + 1 ( 3 + 1) 3 ( 3 + 1) ( 3 − 1) 3 ( 3 − 1) 3
4
4
4
4
в) = = √ = √
8 8 8( 3 − 1) 3 8( 3 − 1) 3
4
4
√ √
3
( 3 − 1) ( 3 + 1) 3 2 3 1
= √ √ = √ √ = √ √ .
3
3
4
4
3
4
8( 3 − 1) ( 3 + 1) 3 8( 3 − 1) ( 3 + 1) 3 ( 3 − 1) ( 3 + 1) 3
Задача 3. Да се опрости израза:
√ √
3 2 3 2
a − b
а) √ √ , при a 6= −b;
a + b
3 3
√ √ √
6 a − 3 a 1 − 6 a 1 + a
б ) + √ √ . , при a 6= ±1 и a ≧ 0.
∗
1 + a 1 − 3 a + 3 a 2 1 − a
Решение:
√ √
3 2 3 2
a − b
а) √ √ , при a 6= −b;
a + b
3 3
24