Page 10 - M11_2024

C
• Медианите AN, BM и CP се пресичат в ед-
на точка G – медицентър; M N
• AG : GN = BG : GM = CG : GP = 2 : 1; G

A P B
1
• За средните отсечки MN, NP и MP е вярно, че MNkAB и MN = AB,
2
1 1
NPkAC и NP = AC, MPkBC и MP = BC;
2 2
• Ако точката M е среда на AC и правата MNkAB (MN ∩ BC = N), то
MN е средна отсечка;
• Формули за медиани:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4m = 2c + 2b − a ; 4m = 2a + 2c − b ; 4m = 2a + 2b − c ;
a
c
b
• Формули за ъглополовящи: C
2 bca 2
l = bc − 2 ;
a
(b + c) v q
l c
2
acb
2
l = ac − (a + c) 2 ; T P
b
abc 2 l b l a
2 t p
l = ab − ;
c
(a + b) 2
2
2
l = bc − pq; l = ac − tv; l = ab − mn. A m L n B
2
c
b
a
AC AL
• Теорема за ъглополовящите: CL е ъглополовяща ⇔ = ;
BC BL
a b c
• Синусова теорема: = = = 2R;
sin α sin β sin γ
2
2
2
2
2
2
• Косинусова теорема: a = b + c − 2bc. cos α, b = a + c − 2ac. cos β,
2
2
2
c = a + b − 2ab. cos γ.
Задача 1. Дължините на катетите на правоъгълен триъгълник са a =
12 cm и b = 16 cm. Да се намерят дължините на m a , m c , r и l b и синусът на
ъгъла между c и m a .
Упътване: За да намерите дължината на хипотенузата, която е 2m c , при-
ложете Питагорова теорема;
a + b − c
– за радиуса изполвайте формулата r = или S = rp;
2
– за ъглополовящата използвайте свойството на ъглополовящите и Пи-
тагорова теорема или формулата за ъглополовяща;
– за синуса на ъгъла използвайте косинусова теорема за триъгълник със
страни 0, 5a, c и m a .
Задача 2. Радиусът на описаната около △ABC окръжност има дължина
6 cm. Да се намерят страната BC и лицето на триъгълника, ако AC = BC и
< ACB = 120 .
)
◦
9