Page 155 - M11_2024

Решение:
Съставните числа от 1 до 30 са: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,
25, 26, 27, 28 и 30. Броят им е 19.
а) Нека означим с A събитието „Изтегленото число е съставно.“ Тогава
.
19
търсената вероятност е P(A) = .
30
б) Нека В е събитието „Ако изтеглим нечетно число, то да е съставно“ .
Понеже изтеглената картичка съдържа нечетно число, то благоприятните
изходи то да е съставно, са числата 9, 15, 21, 25 и 27, а всички възможни изхо-
5 1
ди за нечетно число са 15. Тогава търсената вероятност е P(B) = = .
15 3
Ако разполагаме с допълнителна информация за извършването на даден
опит, то ние може да пресметнем вероятността за настъпване на дадено съ-
битие по-точно.
Нека A и B са две събития, които могат да настъпят в резултат на про-
веждането на даден опит и нека вероятността за настъпване на B не е 0.

Определение
Вероятността да настъпи събитието A при условие, че е
настъпило събитието B, се нарича условна вероятност на събити-
ето A по отношение на събитието B и се бележи с P(A/B).

Теорема
За всеки две събития A и B, където B не е невъзможното
събитие, е изпълнено равенството P(A.B) = P(A/B).P(B).

∗
Доказателство: Нека броят на всички изходи при извършване на опита
да е n, а благоприятните за събитието B са k (0 < k < n). Да означим с
m (0 ≦ m < k) броя благоприятни изходи за събитието A.B (това са тези
изходи, които са благоприятни и за B и за A). Ако събитието B е настъпило,
то броят на всички възможни изходи вече е k, а броят на благоприятните за
m
m P (A.B)
настъпване на събитие A изходи е m. Тогава P(A/B) = = n = .
k k P(B)
n
Следователно P(A.B) = P(B).P(A/B).
∗
Както знаем, за сечението на събитията A и B е вярно, че A.B = B.A и
следователно e вярно P(A.B) = P(B).P(A/B) = P(B.A) = P(A).P(B/A).
Горното равенство се нарича „Правило за умножение на вероятности“.
Задача 2. Хвърляме два зара. Известно е, че при хвърляне на два зара са
се паднали числа, чиито сбор се дели на 3. Каква е вероятността сборът да е
бил 9?
154