Page 159 - M11_2024

Решение:
Нека събитието A е „Първият улучва целта.“ , а събитието B е „Вторият
улучва целта.“ . Събитието „Поне един улучва целта.“ е обединението на A
и B. Следователно P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P(A.B), но събитията A и
B са независими и следователно P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P(A).P(B) =
0, 8 + 0, 75 − 0, 6 = 0, 95.
Задача 4*. В три еднакви кутии: червена, зелена и жълта, са поставени
съответно 100, 50 и 80 еднакви по размер топчета. В червената кутия има
15 черни топчета, а вероятността да извадим черно топче, от някоя от тези
три кутии, е 101 . Намерете колко най-много черни топчета може да има в
600
жълтата кутия.
Решение:
Нека в зелената кутия има y черни топчета, а в жълтата – x черни топче-
та. Понеже кутиите са еднакви, то вероятността да изберем топче от която
1
и да е от тях е една и съща и е равна на . Следователно вероятността да
3
извадим черно топче от някоя кутия е равна на
1 15 1 y 1 x 101
P = . + . + . = ⇔ 60 + 8y + 5x = 202
3 100 3 50 3 80 600
⇔ 8y + 5x = 142.

Числата x и y са брой топчета и следователно са естествени числа. Тогава
решенията на уравнението са наредените двойки от естествени числа: (x; y)
равни на (22; 4), (14; 9) и (6; 14). Топчетата в жълтата кутия са най-много 22.

Задачи

1. Хвърляме едновременно два правилни зара, каква е вероятността про-
изведението на падналите се точки да е нечетно число.
2. От колода от 52 карти по случаен начин е изтеглена една карта. Не-
зависими ли са събитията: „Изтеглената карта е каро.“ и „Ако изтеглената
карта е поп, то той е каро.“
3. Докажете, че ако събитията A и B са независими то и събитията A и B
са независими.
4. Докажете, че при хвърляне на два правилни зара събитията: „Сборът
от точките е 11.“ и „Числото паднало се на единия зар не е 5.“ са зависими.
5. В кутия има общо 90 чорапа, от които 36 бели, а останалите черни.
Изваждат се последователно без връщане 2 чорапа. Намерете вероятността
те да са с различен цвят.
6. В едно училище има три паралелки от 11. клас. В първата паралелка
има 8 отличници от 30 ученици, във втората 7 отличници от 28 ученици, а в

158