Page 163 - M11_2024

46 МОДЕЛИ НА МНОГОКРАТНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ.
УПРАЖНЕНИЕ

Да разгледаме различни примери за многократни експерименти с два въз-
можни изхода.
Задача 1. Монета е хвърлена 10 пъти. Намерете вероятността да се падне
„ези“ от 4 до 6 пъти. Каква е вероятността да се падне „ези“ поне веднъж?
Решение:
Вероятностите да се падне „ези“ или „тура“ са равни на 0,5. Събитията
да се падне „ези“ 4 пъти, 5 пъти и 6 пъти са несъвместими, следователно ве-
роятността да се падне „ези“ от 4 до 6 пъти е сума на техните вероятности.
Всеки един от опитите е биномен – отговаря на схемата на Бернули. При-
1 210
лагайки формулата от предната тема, получаваме: P 10 (4) = C 4 = ;
10 10 2 10
2
1 252 1 210
P 10 (5) = C 5 = и P 10 (6) = C 6 = . Тогава търсената вероятност
10 10 2 10 10 10 2 10
2
2
210 252 210 21
е: P 10 (4 ≦ k ≦ 6) = P 10 (4) + P 10 (5) + P 10 (6) = + + = .
2 10 2 10 2 10 32
За да отговорим на въпроса да се падне поне веднъж „ези“, трябва да на-
мерим вероятността нито веднъж да не се падне „ези“защото двете събития
,
са противоположни. Следователно търсената вероятност е P 10 (1 ≦ k ≦ 10) =
1 1023
1 − = .
2 10 1024
Задача 2. В люпилня има 10 яйца. Каква е вероятността от тях да се излю-
пят не повече от 4 петлета?
Решение:
Вероятността от едно яйце да се излюпи петле е 0,5. За да се излюпят не
повече от 4 петлета ни интересуват вероятностите P 10 (0), P 10 (1), P 10 (2), P 10
(3) и P 10 (4). Всяко от тези събития е несъвместимо с другите, следователно
търсената вероятност е тяхната сума.
Прилагаме формулата на Бернули и намираме последователно P 10 (0) =
1 1 1 10 2 1 45 3 1 120
; P 10 (1) = C = ; P 10 (2) = C = ; P 10 (3) = C = и
2
2
2 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 10 2 10
2
P 10 (4) = C 4 1 = 210 . Търсената вероятност е: P 10 (k ≦ 4) = P 10 (0)+P 10 (1)+
10 10 2 10
2
1 10 45 120 210 386
P 10 (2) + P 10 (3) + P 10 (4) = + + + + = ≈ 0, 38.
2 10 2 10 2 10 2 10 2 10 1024
Задача 3. Изпит се състои от 10 въпроса с пет възможни отговора, точ-
но един от които е верен. Да се намери каква е вероятността, ако ученик
налучква отговорите, да познае поне 8 верни отговора?
162