Page 161 - M11_2024

– всеки опит завършва с успех или неуспех;
– вероятността за постигане на успех във всеки от опитите е една и съща;
– опитите са независими един от друг.
Задача 1. В кутия има 5 еднакви по размер топчета, 4 бели и 1 черно. По
случаен начин вадим едно топче и после го връщаме в кутията. Провеждаме
опита 3 пъти. Намерете вероятността 2 пъти да сме извадили черното топче.
Решение:
4
Вероятността да извадим бяло топче е , а вероятността да извадим черно
5
топче е 1 . Нека A е събитието „Вадим черно топче.“ а A е събитието „Не
,
5
вадим черно топче.“ .
Имаме следните възможности за трите опита AAA, AAA, AAA, AAA, AAA,
AAA, AAA, AAA.
От теоремата за вероятност на произведение вероятността на първото от
1
3
тези събития е , на следващите 3 събития, в които изходите, постигна-
5
1
2 4
ли два успеха вероятността е . . На пето, шесто и седмо събитие ве-
5 5 3
2

роятността е 1 . 4 , а на осмото е 4 . Така получаваме, че търсената
5 5 5
1
2 4 12
вероятност е P (A, A) = 3. . = .
5 5 125
Да обобщим получения резултат:
Нека извършваме n независими опита с два изхода A и A, като вероят-
ността да настъпи A е p, а вероятността да настъпи A е q = 1− p. Интересува
ни вероятността при k (0 ≦ k ≦ n) от n-те опита да настъпи събитието A, да я
кръстим P n (k). От теоремата за произведение на вероятности имаме, че ако
е настъпило точно k пъти, то A е настъпило точно n−k пъти и вероятността
k
за един такъв изход е p .q n−k . Но всичките възможни начини, при които A
k
настъпва точно k пъти и A е настъпва точно n−k пъти, са C . Следователно
n
от теоремата за събиране на вероятности имаме, че
k k n−k
P n (k) = C p q .
n
n
n
Не е трудно да се съобрази, че P n (n) = p и P n (0) = q .
Доказаната формула се нарича формула на Бернули.
Якоб Бернули (1654 – 1705) е швейцарски математик, който първи се занимава с многок-
ратни опити с два възможни изхода. Такива опити се наричат още опити на Бернули и
опити по схема на Бернули.

Задача 2. Вероятността стрелец да уцели мишена е 0,8. Той прави 5 после-
дователни изстрела. Намерете вероятността да е уцелил точно 3 пъти мише-
ната.

160