Page 168 - M11_2024

48 ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ ВЪРХУ ПРАВАТА КАТО
ОТНОШЕНИЕ НА ДЪЛЖИНИ НА ИНТЕРВАЛИ

Както знаем, геометричните обекти са множества от точки с определени
свойства. Когато геометричен обект може да бъде измерен, т.е. има дължи-
на, лице или обем, ние може да поставим въпроса – Каква е вероятността
точка от обекта да има допълнително свойство?
Например: Точката да е на определено разстояние от дадена точка; да по-
пада в част от фигура с определено лице или да е част от тяло.
Задачи от този вид са задачи за намиране на геометрична вероятност. В
тези задачи множеството от елементарни събития Ω е произволно крайно
измеримо множество (отсечка, многоъгълник, окръжност, многостен . . . ),
а всяко негово измеримо подмножество ще разглеждаме като елементарно
събитие A.
µ (A)
Вероятността на събитието A се определя по формулата P(A) = ,
µ (Ω)
където µ (A) и µ (Ω) са мерките на съответните обекти. В конкретните зада-
чи под опит се разбира случайният избор на точка от множеството Ω, която
попада в дадено негово подмножество A. Когато Ω е отсечка, то нейните
подмножества също са отсечки и мерките им са техните дължини. Следо-
вателно вероятността точка M от дадена отсечка AB ≡ Ω да попада върху
CD
отсечка CD, която е част от AB, се изчислява по формулата P (M) = .
AB
Задача 1. Дадена е отсечка AB с дължина 10 cm. Да се намери каква е
вероятността случайно избрана точка M да е на разстояние от точка A по-
голямо от 6 cm, но не по-голямо от 8 cm.
Решение:
За да бъде разстоянието от точ-
ка M до точка A в дадените граници,
то M трябва да е между точките P и
K, където AP = 6 cm и AK = 8 cm.
Дължината на отсечката PK е 2 cm
и търсената вероятност е
PK 2 1
P (M) = = = .
AB 10 5
Задача 2. Да се намери вероятността произволно избрана точка M от ин-
тервала [−6; 6] на числовата права да изпълнява условието разстоянието ` и
до началото да е не по-голямо от 1,3.

167