Page 171 - M11_2024

49 ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ В РАВНИНАТА КАТО
ОТНОШЕНИЕ НА ЛИЦА

Да разгледаме няколко задачи, в които вероятността се определя чрез ли-
ца на фигури. Да отбележим, че събитието „Една точка да е от дадена фигу-
ра.“ и събитието „Една точка да не е от дадена фигура.“ са несъвместими и

може да се прилага формулата P (A) = 1 − P A .
Задача 1. В кръг с радиус R е вписан квадрат ABCD. Да се намери вероят-
ността произволно избрана точка M от кръга да не е попаднала и в квадрата.
Решение:
Множеството Ω в този случай е
кръгът с радиус R, а множеството D C
от точки M с исканото свойство, е
защрихованата част от него. Следо- 2R
2
вателно µ (Ω) = S = πR , a µ (A) =
2
2
2
S k −S ABCD = πR −2R = (π − 2) R .
Тогава според формулата от пре-
дишния урок търсената вероятност е A B
µ (A) π − 2 57
P (M) = = ≈ ≈ 0, 36.
µ (Ω) π 157
Ясно е, че вероятността зависи от лицето на фигурата, в която попада
дадената случайно избрана точка и разбира се, от лицето на тази част от
равнината, в която е тази фигура.
Задача 2. Фигурата на чертежа C
е образувана от 6 еднакви правил-
ни многоъгълника, които ограждат A B
защрихованата звезда. Да се наме-
ри вероятността произволно избра-
на точка от нея да е от защрихова-
ната част.
Решение:
Множеството Ω е дадената фигура, множеството A е защрихованата част
от нея. За да намерим търсената вероятност, трябва да намерим как лицето
на защрихованата част е свързано с лицето на един шестоъгълник. Да раз-
гледаме триъгълник ABC, той е равнобедрен с < ACB = 60 , следователно
)
◦
е равностранен. Аналогично получаваме, че защрихованата част се състои
от правилен шестоъгълник, еднакъв на дадените и 6 еднакви равностранни

170