Page 174 - M11_2024

Решение:
Множеството Ω са точките от вътрешността на голямото кълбо, следо-
4 4 2 11
3
вателно µ (Ω) = V gk = πr 3 = π8 = π. Множеството A са точките,
3 gk 3 3
които не са от малкото кълбо. Нека множеството A са точките, които са в
4 32
малкото кълбо, следователно µ A = V mk = πr 3 = π. Тогава търсената
3 mk 3

µ (A) µ A 1 63
вероятност е P (M) = = 1 − = 1 − = .
µ (Ω) µ (Ω) 2 6 64
Задача 3. Мишена за „Дартс“ се състои от четири концентрични кръга
съответно с радиуси r, 2r, 3r и 4r. Намерете вероятностите произволно по-
падение да е от всяка от четирите области на „Дартс“ Ако знаете, че веро-
.
1
ятността конкретен играч да уцели защрихованата област е , то намерете
8
каква е вероятността този играч да не уцели мишената. ( При запазване на
отношението за попадение във всяка от областите.)
Решение:
Използвайки формулата, намира-
ме, че вероятностите за попадение
във всяка от областите са: Област
πr 2 1
P 1 = = ;
π (4r) 2 16
2
π (2r) − πr 2 3 1 2 3 4
P 2 = = ;
π (4r) 2 16
2
π (3r) − π (2r) 2 5
P 3 = 2 = ;
π (4r) 16
2 2
π (4r) − π (3r) 7
P 4 = 2 = .
π (4r) 16
1
Ако вероятността играч да уцели област 2 е , то вероятността да уцели
8
1
област 1 е три пъти по-малка или , съответно за област 3 е пет пъти по-
24
5 7
голяма или , за област 4 е . Така получаваме, че вероятността да уцели
24 24
1 3 5 7 2 2 1
мишената е P (A) = + + + = , а да не я уцели е P A = 1− = .
24 24 24 24 3 3 3
Задачи
1. В правоъгълна координатна система са дадени точките A(1; 1), B(−2; 1),
C(−2; −1) и D(1; −1). Намерете вероятността произволно избрана точка
M(x; y) от четириъгълника ABCD да има координати, удовлетворяващи усло-
вията: x > 0 и 0 < y.
2. В правоъгълна координатна система са дадени точките A(1; 1), B(−1; 1),
C(−1; −1) и D(1; −1). Намерете вероятността произволно избрана точка

173