Page 173 - M11_2024

8. В окръжност е вписан четириъгълник с диагонали 6 и 8 и ъгъл между
тях 60 . Ако вероятността произволна точка от кръга да е в четириъгълника
◦
√
е 3 , то намерете радиуса му.
5π
9. Даден е правоъгълник ABCD, точките M, N, P и K са средите на стра-
ните му, а точките O, Q, R и T са съответно средите на отсечките MN, NP, PK
и KM. Намерете каква е вероятността произволно избрана точка от право-
ъгълника да във вътрешността на четириъгълника MNPK, но не и в чети-
риъгълника OQRT.

10. Даден е триъгълник ABC, точките M, N и K са средите на страните
му, а точките P, Q и T са съответно средите на медианите AM, BN и CK. На-
мерете вероятността произволно избрана точка от вътрешността на дадения
триъгълник да не е от вътрешността на триъгълник PQT.

50 ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ. УПРАЖНЕНИЕ

Задача 1. В правоъгълна координатна система са дадени точките A(1; 1),
B(−1; 1), C(−1; −1) и D(1; −1). Намерете вероятността произволно избрана
M(x; y) точка от четириъгълника ABCD да има координати, удовлетворя-
ващи условията: −0, 5 < x < 0 и 0 < y < 1.
Решение:
Множеството Ω са точките от
вътрешността на четириъгълника
ABCD и µ (Ω) = S ABCD = AB.BC =
|1 + 1| . |−1 − 1| = 4. Множеството
A са точките от защрихования че-
тириъгълник с върхове T(−0, 5; 0),
O(0; 0), N(1; 0) и K(−0, 5; 1), и мярка-
та му е µ (A) = S TONK = TO.ON =
|0 + 0, 5| . |0 − 1| = 0, 5. Тогава търсе-
µ (A)
ната вероятност е P (M) = =
µ (Ω)
0, 5 1
= .
4 8
Задача 2 . Дадени са две концентрични кълба съответно с радиуси 2 cm
∗
и 8 cm. Намерете вероятността произволно избрана точка от вътрешността
на голямото кълбо да не принадлежи на малкото кълбо.

172