Page 51 - M11_2024

4
Например: log 81 = 4, защото 3 = 81;
3
log 32 = 5, защото 2 = 32;
5
2
3
log 125 = 3, защото 5 = 125;
5
1
−3
log 1 8 = −3, защото = 8.
2 2
! Логаритмите с основа a = 10 се наричат десетични и вместо log 10 b
2
се записва lg b. Например lg 100 = 2, защото 10 = 100.
! Равенствата a = b и x = log b, при a > 0, a 6= 1 и b > 0 са еквива-
x
a
лентни.
Например равенството 3 = 82 е еквивалентно на x = log 82.
x
3
Задача 1. Да се докаже, че числото log 82 е ирационално.
3
∗
Решение:
p
Допускаме, че log 82 е рационално, т.е. log 82 = , p ∈ Z, q ∈ N, (p, q) = 1.
3
3
q
p
p
q
Тогава 3 = 82, т.е. 3 = 82 . Ако p ≦ 0, то 3 ≦ 1 < 82 . Ако p > 0, то 3 –
q
p
p
q
нечетно число, а 82 е четно число.
q
q
p
Следователно 3 6= 82 . Полученото противоречие се дължи на допуска-
нето, че log 82 е рационално число.
3
∗
Доказахме, че числото log 82 е ирационално и затова то може да се прес-
3
метне само с определена точност. За пресмятането се използват калкулато-
ри, таблици със стойности на логаритмите или логаритмична сметачна ли-
ния.
Джон Непер (1550 – 1617) е създател на логаритмичната сметачна линия. Въвел е лога-
ритъм от b с основа числото e ≈ 2, 71, който се записва ln b и се нарича натурален лога-
ритъм. Числото e се нарича Неперово число. Джон Непер е сътрудничил на Хенри Бригс
(1561 – 1630) при съставянето на първата таблица с десетичните логаритми на числата от
1 до 1000.
Равенствата a = b и x = log b, при a > 0, a 6= 1 и b > 0 позволяват да се
x
a
определят елементите (a, b и x) на степен и логаритъм.
Задача 2. Да се намерят стойностите на x, за които:
3
а) x = 64; б) 5 = 100; в) x = 25 4 ;
x
5
3 3
г) log 27 = x; д) log x = ; е) log 27 = .
9
x
9
2
2
Решение:
√ √
5
5
а) От x = 64 следва, че x = 5 64 = 2 2.
б) От 5 = 100 следва, че x = log 100.
x
5
50