Page 56 - M11_2024

Доказателство: Повдигаме на степен α двете страни на равенството
α
a .
a ) = a
N = a log N и получаваме N = (a log N α α log N
a
a , откъде-
α
От друга страна, N = a log N α . Следователно a log N α = a α log N
a
a
то log N = α log N.
α
a
a
Задача 1. Да се логаритмува изразът при основа a (a > 0 и a 6= 1) и
b > 0, c > 0.
√ 2
3
2
c
а) 5bc; б) a ; в) √ .
bc a 2 4 b
Решение:
а) log (5bc) = log 5 + log b + log c;
a
a
a
a
2
a
2
б) log a bc = log a − log (bc) = 2 log a − (log b + log c)
a
a
a
a
a
= 2 − log b − log c;
√ a a
3 c 2 2 1 2 1
в) log a √ = log a c 3 a −2 .b − 4 = log c 3 + log a −2 + log b − 4
a
a
a
a 2 4 b
2 1 2 1
= log c − 2 log a − log b = −2 + log c − log b.
a
a
a
a
a
3 4 3 4
Задача 2. Да се пресметне:
√
а) log (125 3125); б) log 0,1 50 − log 0,1 5; в) lg 125 + lg 8;
5
ab
г) log 2 , при log a = 3 и log b = −5;
2
2
8
√
b a 1
3
д) log 1 √ , при log 1 a = 3 и log 1 b = .
3
3 a b 3 3 3
Решение:
√ √ 5
3
а) log (125 3125) = log 125+log 5 3125 = log 5 +log 5 2 = 3+2, 5 = 5, 5;
5
5
5
5
50
б) log 0,1 50 − log 0,1 5 = log 0,1 = log 0,1 10 = log 0,1 (0, 1) −1 = −1;
5
в) lg 125 + lg 8 = lg(125.8) = lg 1000 = lg 10 = 3 lg 10 = 3;
3
ab
3
г) log 2 = log (ab) − log 8 = log a + log b − log 2 = 3 − 5 − 3 = −5;
2
2
2
2
2
8
√
b a 2 2 2 2
3
д) log 1 √ = log 1 a − 3 .b 3 = log 1 a − 3 + log 1 b 3
3
3 a b 3 3 3
2 2 2 2 1 7
= − log 1 a + log 1 b = − .3 + . = −1 .
3 3 3 3 3 3 3 9
Задача 3. Да се намери x, ако:
1
а) log x = 2 log 0, 4 + 1; б) lg x = 3 lg 2 − lg 7, 5 + lg 3;
5
5
1 2
в) log 1 x = (log 1 72 + log 1 3); г) lg x = −2 lg 5 − 3 lg 2.
3 3 3 3
55