Page 54 - M11_2024

1 1 1 1 1
г) От 0 < < 1 и > следва, че log 1 < log 1 = 4.
3 79 81 3 79 3 81
1 1 1 1 1
От 0 < < 1 и √ < следва, че log 1 √ > log 1 = 4.
2 15 + 3 16 2 15 + 3 2 16
1 1 1 1
Тогава от log 1 < 4 < log 1 √ следва, че log 1 < log 1 √ .
3 79 2 15 + 3 3 79 2 15 + 3
1 1 1
Задача 3. Да се подредят по големина числата log 1 , log , log 5, log 1
3 3 6 2 5 3 7
и log 2, като се започне от най-малкото.
5
Решение:
1 1 1
От log 5 = log 1 3 3 = 1 и 1 < 2 < 5 получаваме log 2 < log 5. От 3 > 7 и
5
5
5
1 1 1 1 1
0 < < 1 следва, че log 1 < log 1 . От 6 > 1 и < 1 получаваме log <
3 3 3 3 7 2 6 2
log 1 = 0. От друга страна, от 2 > 1 и 5 > 1 следва, че log 2 > log 1 = 0.
6
5
5
1 1 1
Тогава log 6 2 < 0 < log 2. Следователно log 6 2 < log 2 < log 5 = log 1 3 3 <
5
5
5
1
log 1 .
3 7
Задача 4 . Да се намерят стойностите на p, за които:
∗
а) lg(p + 5) < lg 3; б) log 0,5 (2p + 3, 5) < 1.
Решение:
а) lg(p + 5) < lg 3. От 10 > 1 и lg(p + 5) < lg 3 следва, че p + 5 < 3 ⇔ p < −2.
Допустими стойности за lg(p + 5) са p + 5 > 0, т.е. p > −5.
Следователно за p ∈ (−5; −2) е изпълнено lg(p + 5) < lg 3.
б) От 0, 5 < 1, log 0,5 0, 5 = 1 и log 0,5 (2p+3, 5) < 1 следва, че 2p+3, 5 > 0, 5 ⇔
3
p > − . Допустими стойности за log 0,5 (2p + 3, 5) са 2p + 3, 5 > 0 ⇔ p > −1, 75.
2
3
Следователно за p > − е изпълнено log 0,5 (2p + 3, 5) < 1.
2
Задачи
1. Пресметнете:
1 1
9 ;
а) log 625; б) lg 1 000 000; в) lg ; г) 7 2 log 2 3 ; е) 3 2(1+log 3)
7 ; д) log
5
100 √ 243 p √
√
2 ; и) log
ж) 1, 7 5 log 1,7 1 ; з) 4 log 5 5 6 5; к) log √ 2 5 4; л) log 6 3 3 9.
√
2. Определете допустимите стойности на изразите и докажете равенство-
то:
a = b ;
a = b .
b ;
a = b
а) a log c log c б) a 2 log b 2 в) b 3 log a 3
3. Сравнете числата: √ √
а) log 4 и log 2; б) log 2 3 и log 2 3 2; в) log 1 5, 5 и log 1 5, 6;
3
3
√ 2 2
3 4 и log 3 2; д) 1 и log 2; е) log 3 8 и log 3 9;
г) log 3 5 √ 2 √ 2
2 2 1
ж) log 13 160 и log 17 291; з) log 1 26 −1 и log 1 .
3 5 126
53