Page 55 - M11_2024

4 . Намерете стойностите на p, за които:
∗
p √
2
а) log 2 52 − p = log (2 − p); б) log 0,2 (4p − 3 + 2 − p) = log 0,2 2p;
2

2p − 1
2
в) lg(p − 5p + 9) ≧ lg 3; г) log 1 − 1 ≧ 1.
3 p − 1
15 ЛОГАРИТМУВАНЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНО,
СТЕПЕН И КОРЕН

Действието, при което се намира логаритъм на дадено число при дадена
основа, се нарича логаритмуване.
За логаритмуване на произведение, частно, степен и корен се използват
следните твърдения.

Теорема 1
Логаритъмът на произведението на две или повече
положителни числа е равен на сбора от логаритмите им, т.е.
log (N 1 N 2 . . . N k ) = log N 1 + log N 2 + . . . + log N k , където a > 0,
a
a
a
a
a 6= 1 и N i > 0 за всяко i = 1, 2, . . . k.
Доказателство: От основното логаритмично тъждество следват равенс-
твата
N 1 = a log N 1 , N 2 = a log N 2 , . . . , N k = a log N k .
a
a
a
След почленното им умножение получаваме
N 1 N 2 . . . N k = a log N 1 +log N 2 +...+log N k .
a
a
a
От друга страна, N 1 N 2 . . . N k = a log N 1 N 2...N k .
a
Следователно log N 1 N 2 . . . N k = log N 1 + log N 2 + . . . + log N k .
a
a
a
a
Теорема 2
Логаритъмът на частното на две положителни числа е
равен на разликата от логаритмите на делимото и делителя, т.е.
N 1
log a = log N 1 − log N 2 , където a > 0, a 6= 1, N 1 > 0 и N 2 > 0.
a
a
N 2
Доказателството е аналогично на доказателството на теорема 1.
Теорема 3
Логаритъмът на степен с положителна основа N е равен
на произведението от степенния показател и логаритъма на осно-
вата N, т.е. log N α = α log N, където a > 0, a 6= 1, N > 0 и α
a
a
произволно рационално число.
54