Page 72 - M11_2024

Задача 2. Даден е успоредник ABCD със страни AB = 7 cm, AD = 8 cm и
3
cos < BAD = . Да се намери лицето на успоредника.
)
7
Решение:
За да използваме теорема 1, първо трябва да намерим синуса на дадения
ъгъл.
r √
9 2 10
p
2
)
sin < BAD = 1 − cos < BAD = 1 − = , следователно
)
49 7
√
2 10 √
2
S ABCD = ab sin α = 7.8. = 16 10 cm .
7
Теорема 3
За успоредник с диагонали d 1 и d 2 , и ъгъл между тях ϕ е
d 1 d 2 sin ϕ
изпълнено S = .
2
Доказателство: Нека успоред-
никът е ABCD и точка O е пресеч- D C
ната точка на диагоналите му. Как-
то знаем, точка O е среда и на AC и
на DB, следователно е изпълнено, че j O b
S ABO = S BCO = S CDO = S AOD = d 1 d 2
1
)
S ABCD . Ако означим <AOD =
4
ϕ и приложим формулата за лице на A a B
триъгълник, получаваме, че
AO.DO sin ϕ d 1 d 2 sin ϕ
S ABCD = 4S AOD = 4 = .
2 2
√
Задача 3. Даден е успоредник ABCD с диагонали AC = 7 3 cm, BD =
√ √
8 2 cm и лице 28 3 cm . Да се намери мярката на < AOD, ако точка O е
2
)
пресечната точка на диагоналите на успоредника.
Решение:
Използвайки теорема 3, получаваме, че
√ √ √
AC.BD sin ϕ 7 3.8 2 sin ϕ √ 2
S ABCD = = = 28 3 ⇒ sin ϕ = . Следова-
2 √ 2 2
2
телно sin < AOD = . Това означава, че < AOD е или 45 , или 135 . Но
)
)
◦
◦
√ √ 2
7 3 > 8 2 ⇒ AC > BD и следователно < ABC >< BAD и AB > AD, от
)
)
което следва, че < AOD < 90 и мярката му е 45 .
)
◦
◦
Задачи
1. На чертежа е даден успоредник ABCD. По данните от чертежа наме-
рете дължините на отсечките x и y.
71