Page 74 - M11_2024

19 РЕШАВАНЕ НА ВИДОВЕ УСПОРЕДНИЦИ.

УПРАЖНЕНИЕ

Да приложим наученото за успоредник за намиране на елементи на видо-
вете успоредници – правоъгълник и ромб. За целта е необходимо да използ-
ваме техните специални свойства. Тези свойства намаляват броя на условия-
та или елементите, които трябва да са дадени за конкретната фигура с едно.

d 2
Задача 1. Лицето на правоъгълник с диагонал d е . Да се намери мярка-
4
та на ъгъла, който сключва диагоналът с по-голямата страна на правоъгъл-
ника. Ако дължината на по-малката страна на правоъгълника е 3 cm, да се
намери дължината на по-голямата страна.

Решение:
Нека търсеният ъгъл е α, а ъгъ-
лът между диагоналите ϕ. Знаем,
че диагоналите на правоъгълник са
равни и използвайки формулата за
лице на четириъгълник, получаваме,
2
d sin ϕ d 2 1
че S = = ⇒ sin ϕ = .
2 4 2
Следователно ъгълът между диагоналите е 30 . От друга страна, ϕ = 2α,
◦
следователно α = 15 . Прилагаме косинусовата теорема за △BCO и получа-
◦
√
2
d 2 d 2 d 2 d (2 − 3) √
2
2
ваме, че 3 = + −2. . cos 30 = ⇒ d = 36 2 + 3 . Отново
◦
4 4 4 4
d 2 √
от формулата за лице на правоъгълник имаме 3.AB = = 9 2 + 3 ⇒
4
√
AB = 3 2 + 3 cm.
Когато търсим елементи на успоредник, е добре да подберем правилно
кои формули да използваме така, че да получим търсеното. Не винаги е не-
обходимо да намерим мярката на всеки от използваните елементи, може да
използваме алгебричен израз от елементи, който да ни даде търсеното. За
целта е удобно да въведем букви (параметри) и да изразим връзки между
елементите на фигурите.
Задача 2. Сборът от диагоналите на ромб с лице 28 cm е 15 cm. Да се
2
намери косинусът на тъпия ъгъл на ромба.

73