Page 78 - M11_2024

S ABCD = S △AOB + S △BOC + S △COD + S △DOA
1 1 1 1
= OA.OB sin α + OB.OC sin α + OC.OD sin α + OD.OA sin α
2 2 2 2
1 1
= OB sin α. (OA + OC) + OD sin α. (OA + OC)
2 2
1 1
= AC sin α. (OB + OD) = AC.BD sin α,
2 2

с което теоремата е доказана.

Задача 2. Да се намери синусът на ъгъла между диагоналите на трапец с
основи 8 cm и 4 cm, и бедра 5 cm и 6 cm.

Решение:
Нека трапецът е ABCD. Пост- D 4 C
рояваме височините DD 1 и CC 1 ,
както и отсечката CMkAD. При-
лагаме Хероновата формула за
△MBC и получаваме, че CC 1 = 5 6
p
2 p (p − MC) (p − BC) (p − BM)
=
BM
√
15 7
cm. От правоъгълния △BCC 1
8 M B
27 9 A D 1 C 1
намираме cos < ABC = = , а
)
48 16
1
от правоъгълния △AD 1 D – cos < BAD = . Прилагайки косинусовата тео-
)
8
рема съответно за △ABC и △ABD, намираме дължините на диагоналите:
√
2
2
2
AC = AB + BC − 2AB.BC cos < ABC = 100 − 54 = 46 ⇒ AC = 46 cm
)
и
√
2
2
2
BD = AB + AD − 2AB.AD cos < DAB = 89 − 10 = 79 ⇒ BD = 79 cm.
)
От формулата за лице на трапец и доказаната теорема получаваме:
r
2S CC 1 (AB + CD) 7
sin < (AC, BD) = = = 22, 5 .
)
AC.BD AC.BD 3634
Задача 3. Даден е правоъгълен трапец ABCD(AD ⊥ AB) с пресечна точ-
ка на диагоналите O. Да се намери синусът на ъгъла между диагоналите, ако
AO : OC = 4 : 1, AD = 10 cm и AB = 16 cm.
77