Page 75 - M11_2024

Решение:
Нека означим диагоналите с d 1 и d 2 , a страната с a. Знаем, че диагоналите
на ромб са перпендикулярни и от формулите за лице на успоредник имаме,
2
2
че S = a sin α = d 1 d 2 = 28 ⇒ sin α = 28 . Трябва да намерим a , като за
2 a 2
целта съставяме системата:

d 1 + d 2 = 15 113
2
2
2
2
1
⇒ d + d = 15 − 2.56 = 113 ⇒ a = .
2
d 1 d 2 = 2.28 4
28.4 112 p 15
2
Така получаваме, че sin α = = ⇒ cos α = − 1 − sin α = − .
113 113 113
Задача 3. Да се намери лицето на успоредника ABCD, ако острият му
ъгъл е α, а диагоналите му AC и BD имат съответно дължини d 1 и d 2 , d 1 > d 2 .
Решение:
Търсим лицето във вида
)
(1) S ABCD = AB.BC. sin < ABC.
Прилагаме последователно косинусовата теорема за △ABD и △ABC:

2
2
2
2
BD = d = AB + AD − 2AB.AD cos <) BAD
(2) 2
2 2 2 2
AC = d = AB + BC − 2AB.BC cos <) ABC.
1
Понеже < BAD и < ABC са прилежащи ъгли в успоредник, то
)
)
< BAD+ < ABC = 180 ⇒< ABC = 180 − < BAD и
)
)
)
)
◦
◦
cos < ABC = − cos < BAD. Ето защо система (2) може да се запише във вида
)
)

)
d = AB + AD − 2AB.AD cos < BAD
2 2 2
2
(3)
2
2
2
d = AB + BC + 2AB.BC cos <) BAD.
1
Изваждаме почленно двете равенства и получаваме
2
2
2
2
d − d = 4AB.BC. cos <) BAD и тъй като d − d > 0
1
1
2
2
⇒ cos < BAD > 0 ⇒< BAD < 90 и < BAD = α, < ABC = 180 − α.
)
)
)
)
◦
◦
2
2
Равенството d − d = 4AB.BC. cos α може да се реши относно произве-
1
2
2
d − d 2
дението AB.BC, т.е. AB.BC = 1 2 . Сега заместваме в равенство (1) и за
4 cos α
2
d − d 2
лицето на успоредника получаваме S ABCD = 1 4 2 .tg α.
Решената задача ни навежда на мисълта, че лицето на успоредник може
да се намери, ако са дадени двата му диагонала и негов ъгъл. Може да се
провери, че това е валидно и за произволен четириъгълник.
74