Page 80 - M11_2024

8. В трапеца ABCD са дадени основите AB = 77, CD = 25 и диагоналите
AC = 40, BD = 74. Намерете бедрата на трапеца.
9. В трапеца ABCD са дадени бедрата AD = 41 и BC = 85 и диагоналът
AC = 50. Намерете AB, CD и BD, ако AB = 5CD.
10 . Даден е правоъгълен трапец с остър ъгъл 60 . Намерете дължините
◦
∗
4
на височината и диагоналите на трапеца, ако S = 2 + √ .
3

21 РЕШАВАНЕ НА РАВНОБЕДРЕН ТРАПЕЦ.

УПРАЖНЕНИЕ

Задача 1. Даден е равнобедрен трапец с основи a = 8, b = 2 и бедро c = 5.
Да се намери:
а) височината на трапеца;
б) косинусът на ъгъла при основата;
в) диагоналът на трапеца;
г) синусът на ъгъла между диагоналите.
Решение:
Означаваме с H петата на висо-
чината, спусната от C, с O пресечна-
та точка на диагоналите, с ϕ ъгъла
между диагоналите и с α острия ъгъл
на трапеца.
а) Понеже трапецът е равнобедрен,
a − b 8 − 2
BH = = = 3.
2 2
2
2
2
2
От правоъгълния △HBC получаваме CH = CB − HB = 5 − 3 2
= 25 − 9 = 16. Следователно височината CH = 4.
HB 3
б) От правоъгълния △HBC следва cos α = = .
BC 5
в) Прилагаме косинусовата теорема за △ABC.
2
2
2
AC = AB + BC − 2AB.BC. cos α,
3 √
2
AC = 64 + 25 − 2.8.5. = 41 ⇒ AC = 41.
5
г) Прекарваме през върха C права, успоредна на диагонала DB и отбе-
лязваме пресечната ` и точка с продължението на основата AB с K.
< ACK =< AOB = ϕ като съответни. AK = a + b = 8 + 2 = 10.
)
)
От косинусовата теорема за △ACK намираме
2
AK = AC + CK − 2AC.CK. cos ϕ, откъдето
2
2
79