Page 82 - M11_2024

Решение:
Да означим < BOC = α и нека
)
CH (H ∈ AB) е височината на тра-
пеца. Да напомним, че диагоналите a
на равнобедрения трапец са равни. С
помощта на основното тригономет-
рично равенство можем лесно да на-
12 5
мерим, че sin α = , cos α = .
13 13
Съгласно теоремата за лице на четириъгълник можем да запишем, че

1 1 1 12 √
2
2
S ABCD = AC.BD sin α = AC sin α = AC . ⇒ AC = 13.
2 2 2 13
Да построим сега CC 1 kBD (C 1 ∈ AB) и да отбележим, че триъгълникът
ACC 1 е равнобедрен и равнолицев с трапеца ABCD (Защо?). При това
5
)
)
◦
< ACC 1 = 180 − α, т.е. cos < ACC 1 = − . По косинусовата теорема за
13
= 6, то CH = 2.
△ACC 1 намираме AC 1 = 6 и понеже S △ACC 1
Задачи
1. Трапецът ABCD e равнобедрен. По данните от чертежа намерете дъл-
жината на средната му основа.

2. Трапецът ABCD e равнобедрен, а MN е средна основа. По данните от
чертежа намерете лицето на трапеца, ако:
а) MN = 5; б) MN = m.

3. Диагоналите на равнобедрен трапец са перпендикулярни, а височината
му е 10 cm. Намерете дължината на диагонала на трапеца.

81