Page 85 - M11_2024

∗
Теорема на Ойлер
За четириъгълник ABCD и среди на диагоналите
K и L е изпълнено равенството
2
2
2
2
2
2
AB + BC + CD + AD = AC + BD + 4KL .
2
Доказателство:
Нека точките M, N, P и Q са съответно средите на страните AB, BC, CD и
AD. Тогава от теоремата на Вариньон знаем, че четириъгълникът MNPQ е
2
2
2
успоредник. Следователно е изпълнено тъждеството 2MN +2NP = MP +
2
2
2
NQ , а от теорема за средна отсечка е вярно и равенството AC + BD =
2
4MN + 4NP = 2MP + 2NQ .
2
2
2

Разглеждаме четириъгълника MLPK, той също е успоредник, защото
ML и PK са средни отсечки съответно в △ABD и △ACD и е вярно, че
2
MLkPKkAD и ML = PK = 0, 5AD. Тогава по теорема следва, че (*) KL +
2
AD + BC 2
2
2
2
MP = 2(ML + LP ) = . Аналогично четириъгълник NKQL
2
е успоредник, защото NK и QL са средни отсечки съответно в △ABC и
△ABD и е вярно, че QLkNKkAB и QL = NK = 0, 5AB. Тогава по теорема
2
AB + CD 2
2
2
2
2
следва, че (**) KL +QN = 2(QL +QK ) = . Събирайки равен-
2
2
2
2
2
2
2
2
ства (*) и (**), получаваме AB +BC +CD +AD = 2QN +2MP +4KL =
2
2
AC + BD + 4KL .
2
∗
Задачи
1. Намерете лицето на четириъгълник с диагонали 6 и 10 и ъгъл между
тях 45 .
◦
2. Диагоналите на четириъгълник имат дължини 2 и 4. Намерете лицето
на четириъгълника, ако отсечките, свързващи средите на срещуположните
му страни, са равни.
84