Page 88 - M11_2024

Решение:
Знаем, че ако четириъгълник е
описан около окръжност, е изпъл- D
нено AB + CD = BC + AD и още C
S = pr, където p е полупериметъ-
рът, а r е радиусът на вписаната N
окръжност. От условието знаем, че M
p = AB + CD = BC + AD = 18 + 5 = O
23 cm. За да намерим лицето, ни
трябва радиусът на окръжността. За r
целта разглеждаме четириъгълника
KBMO, където M е допирната точ- 10 K 8
ка с BC и O – центърът на окръж- A B
ността. По теорема този четири-
ъгълник е вписан в окръжност и използвайки косинусовата теорема после-
дователно за △KBM и △KMO, получаваме
256
2
2
2
)
MK = BM + BK − 2.BM.BK. cos < ABC = ;
5
256
2
2
2
2
)
MK = OM +OK −2.OM.OK. cos < KOM = ⇒ 2r (1+cos < KBM) =
)
5
256 ⇒ r = 4 cm и S ABCD = 4.23 = 92 cm .
2
5
Нека N е допирната точка на окръжността с AD. За да намерим косину-
са на < BAD, разглеждаме четириъгълник AKON и отново с косинусовата
)
теорема получаваме:
2
2
NK = AN + AK − 2.AN.AK. cos < DAB;
2
)
2
2
2
)
NK = ON + OK − 2ON.OK. cos < NOK
2
2
= ON + OK + 2ON.OK. cos <) DAB.
2
2AN − 2ON 2 100 − 16 21
Следователно cos < BAD = = = .
)
2
2AN + 2ON 2 100 + 16 29
Задачи
1. Четириъгълник ABCD с < DAB = 30 и AB.AD + BC.CD = 144 е
)
◦
вписан в окръжност. Намерете лицето на четириъгълника.
2. Четириъгълник ABCD със страни AB = 4, BC = 7, CD = 11, DA = 12
е вписан в окръжност. Намерете дължините на диагоналите му.
3. Намерете лицето на четириъгълник, който е описан около окръжност
с радиус r = 2 и има две срещуположни страни съответно с дължини:
а) 11, 5; б) 7, 11.
4. Намерете лицето на четириъгълник, който е вписан в окръжност и има
съответно дължини на страните:
а) 2, 3, 4, 7; б) 6, 8, 7, 11.
87