Page 87 - M11_2024

Решение:
Нека означим < BAD = α, от
)
свойство на вписан четириъгълник
имаме, че < BCD = 180 −α. Изразя-
)
◦
ваме чрез косинусовата теорема по
два начина диагонала BD, съответно
от △ABD и от △BCD:

2
2
BD = AB + AD − 2AB.AD. cos α = 64 + 9 − 48 cos α;
2
2
2
BD = BC + CD − 2BC.CD. cos (180 − α) = 49 + 16 + 56 cos α.
2
◦
2
Така получаваме, че BD = 64 + 9 − 48 cos α = 49 + 16 + 56 cos α ⇒
r √ √
1 1 168 2 42
cos α = . Тогава sin α = 1 − = = и от синусовата теорема
13 169 13 13
√ r
BD 901.13 1 11 713
2R = = √ ⇒ R = cm.
sin α 2 42 4 42
Задача 2. В окръжност с радиус 1 е вписан четириъгълник ABCD, за кой-
то AB = 2, < BAD = α и < ABC = β. Да се докаже, че периметърът на
)
)
четириъгълника е P = 2 (1 + cos α + cos β − cos (α + β)).
Решение:
От условието следва, че страна-
та AB е диаметър на окръжността
и следователно △ABC и △ABD са
правоъгълни, а ъглите им са съот-
ветно < ABD = 90 − α и < BAC =
)
)
◦
90 − β. Така изразяваме страните
◦
BC = 2 cos β и AD = 2 cos α. Раз-
глеждаме △ACD, той е вписан в
окръжността и от синусовата теоре-
ма намираме
CD = 2R sin < DAC =2 sin(α − 90 + β)=−2 sin(90 − (α + β))=−2 cos(α + β).
)
◦
◦
Така получаваме, че P =AB+AD+BC+CD=2 (1 + cos α + cos β−cos (α + β)).
Задача 3. В четириъгълник ABCD е вписана окръжност, която се допира
до страната AB в точка K. Да се намери косинусът на < BAD и лицето на
)
3
четириъгълника, ако AK = 10 cm, KB = 8 cm, CD = 5 cm и cos < ABC = .
)
5
86