Page 86 - M11_2024

3 . Докажете, че за всеки трапец е изпълнено, че сборът от квадратите
∗
на диагоналите е равен на сбора от квадратите на бедрата и удвоеното про-
изведение на основите.

4. Намерете лицето на четириъгълник ABCD, ако AB = 6 cm, CD =
√
2 5 cm, AD = 4 cm, <) ADC = 90 и <) ABC = 60 .
◦
◦
5. Намерете диагоналите на четириъгълник ABCD, за който AD = 3 cm,
4 24
)
AB = 10 cm, BC = 5 cm, cos < DAB = и cos < ABC = .
)
5 25
6. Намерете разстоянието между средите на диагоналите на четириъгъл-
)
ник ABCD, за който AD = 3 cm, AB = 4 cm, AC = 5 cm, < DAC =< CAB =
)
30 .
◦
7. Точките M, N, P и Q са съответно среди на страните AB, BC, CD и
AD на четириъгълник ABCD. Намерете диагоналa BD и лицето на четири-
ъгълника, ако AC = 15 cm, MP = 14 cm, NQ = 13 cm.
8. Намерете синусa на < ADC на четириъгълник ABCD, ако AB = 5,
)
1
BC = 9 , CD = 7, AD = 11 и cos < ABC = .
)
6
√ √
9. Даден е четириъгълник ABCD, за който CD = 6 2 cm, BC = 4 3 cm,
AC = 12 cm, < ACB = 30 и < CAD = 45 . Намерете периметърa и лицето
)
)
◦
◦
на четириъгълника. Докажете, че диагоналите му са перпендикулярни.
10. Сборът от квадратите на едната двойка срещуположни страни на че-
тириъгълник е равен на сбора от квадратите на другата двойка страни. На-
мерете лицето на четириъгълника, ако диагоналите му имат дължини 18 cm
и 25 cm.

23 РЕШАВАНЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

Интерес представляват четириъгълниците, които са вписани или описа-
ни около окръжност. Както знаем, тези четириъгълници имат по-специални
свойства, които сме изучавали в 8. и 9. клас и прилагайки тези свойства, може
да намерим техни елементи.

Задача 1. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност. Дължините на
страните му са съответно AB = 8 cm, BC = 7 cm, CD = 4 cm и AD = 3 cm.
Да се намери синусът на < BAD и радиусът на окръжността.
)

85