Page 81 - M11_2024

2
2
AC + CK − AK 2 41 + 41 − 100 9
cos ϕ = = = − и
2AC.CK 82 41
r
p 81 40
2
sin ϕ = 1 − cos ϕ = 1 − = .
41 2 41
Задача 2. В трапец с остър ъгъл α = 60 е вписана окръжност с радиус 2.
◦
Около трапеца е описана окръжност. Да се намери:
а) диагоналът на трапеца;
б) радиусът на описаната около трапеца окръжност.
Решение:
Нека точката O е центърът на
вписаната в трапеца окръжност, а
точките M и H са ортогоналните
проекции, съответно на O и C, вър-
ху основата AB.
Трапецът е равнобедрен, защото
около него е описана окръжност.
а) От правоъгълния △HBC нами-
раме
√
CH 4 8 3
BC = = √ = .
sin α 3 3
2
AB α √
От правоъгълния △AOM намираме AM = = OMcotg = 2 3 ⇒
√ 2 2
AB =4 3.
Прилагаме косинусовата теорема за △ABC и за диагонала AC получаваме:
2
2
2
AC = AB + BC − 2AB.BC. cos α,
√ 2 √ √ √
√ 2 8 3 √ 8 3 112 4 7 4 21
2
AC = 4 3 + − 2.4 3. cos 60 = ⇒ AC = √ = .
◦
3 3 3 3 3
б) Окръжността, описана около трапеца ABCD, е описана и около △ABC.
Прилагаме синусовата теорема за △ABC
√
4 7
√ √
AC 3 8 7
2R = = √ = , откъдето за радиуса на описаната около трапе-
sin α 3 3
2 √
4 7
ца окръжност получаваме R = .
3
Задача 3. Диагоналите AC и BD на равнобедрения трапец ABCD
(AB k CD) с лице 6 се пресичат в точката O. Да се намери височината на
12
)
трапеца, ако tg < BOC = .
5
80