Page 84 - M11_2024

Задача 1. Даден е четириъгълник ABCD с пресечна точка на диагоналите
O. Да се намери периметърът и лицето на четириъгълника, ако AO = OD =
2 cm, OB = 4 cm, OC = 3 cm и < ABD = 30 .
)
◦
C
Решение:
От синусовата теорема за △AOB имаме
AO BO 4
= ⇒ sin < BAO= sin 30 =1 3
)
◦
sin 30 ◦ sin < BAO 2 D
)
⇒< BAO = 90 . От Питагоровата теорема на- 2
◦
)
√
мираме AB = 2 3 cm. От намерения ъгъл полу- O
чаваме, че < AOD = 120 като външен ъгъл на 4
◦
)
△AOB и △AOD е равнобедрен. Следователно и 2
√ o
△ABD е равнобедрен и AD = AB = 2 3 cm. 30
A B
От косинусовата теорема за △BCO получаваме, че
√ √
2
2
BC = BO + OC − 2.BO.OC. cos 120 = 37 cm, а от косинусовата те-
◦
√ √
2
2
орема за △CDO намираме CD = CO + OD − 2.CO.OD. cos 60 = 7 cm.
◦
√ √ √
Търсеният периметър е P = 4 3 + 7 + 37 cm. Лицето намираме с форму-
√
AC.BD sin 60 ◦ 15 3
лата S = = cm 2
2 2
Задача 2. Да се намери лицето на четириъгълник ABCD, ако AB = 21 cm,
√
BC = 8 3 cm, CD = 7 cm, AD = 5 cm и < BAD = 60 .
)
◦
Решение:
Лицето ще намерим като разде-
лим четириъгълника на два триъ-
гълника с помощта на диагонала
BD. Първо прилагаме косинусовата
теорема за △ABD.
√
2
2
BD = AB + AD − 2.AB.AD. cos 60 = 19 cm, a от формулата за лице
◦
√
AB.AD sin 60 ◦ 105 3
2
получаваме, че S ABD = = cm . За да намерим лицето
2 4 √
на △BCD, прилагаме Хероновата формула: p = 13 + 4 3 cm и
p
S △BCD = p (p − BC) (p − CD) (p − BD) =
q √ √
2
√ √ √
= 13 + 4 3 13 − 4 3 6 + 4 3 4 3 − 6 = 22 3 cm .
Така получаваме, че лицето на четириъгълника е
√
193 3
2
S ABCD = S △ABD + S △BCD = cm .
4
Прилагането на теореми, валидни за произволен четириъгълник, също
помага да намерим негови елементи. Важна теорема, свързваща диагонали-
те и страните на четириъгълник, е следната:
83