Page 90 - M11_2024

Доказателство: Ако построим всичките n − 3 диагонала на правилен n-
ъгълник, излизащи от един негов връх, тези диагонали разделят многоъгъл-
ника на n − 2 триъгълника с общ сбор от ъглите (n − 2) .180 . Но този сбор
◦
представлява и сбора от ъглите на n-ъгълника и тогава мярката на всеки
n − 2
един от тях ще е .180 .
◦
n
Теорема 2
Във всеки правилен n-ъгълник може да се впише окръж-
ност.

∗
Доказателство: Разбира се, има смисъл да доказваме теоремата при n ≧ 5,
тъй като отдавна знаем, че във всеки равностранен триъгълник и във все-
ки квадрат може да се впише окръжност. Нека ъглополовящите на ъгли-
те < A 1 и < A 2 на правилния n-ъгълник A 1 A 2 . . . A n се пресичат в точката
)
)
1 1
)
)
)
O. Тогава < OA 1 A 2 = < A 1 , < OA 2 A 1 = < A 2 ⇒ △OA 1 A 2 е равнобед-
)
2 2
рен с бедра OA 1 = OA 2 . Да построим перпендикулярите OM (M ∈ A 1 A 2 ) и
ON (N ∈ A 2 A 3 ) от точката O съответно до страните A 1 A 2 и A 2 A 3 на мно-
гоъгълника. Тогава правоъгълните триъгълници OMA 2 и ONA 2 са еднак-
ви (Докажете!). От тяхната еднаквост следва, че A 2 M = A 2 N, но A 2 M =
1 1
A 1 A 2 (△OA 1 A 2 е равнобедрен). Това означава, че A 2 N = A 2 A 3 , а това
2 2
равенство показва, че отсечката ON е височина и медиана в △OA 2 A 3 , т.е.
)
)
този триъгълник също е равнобедрен. Но тогава < OA 3 A 2 =< OA 2 A 3 =
1 1
< A 2 ⇒< OA 3 A 2 = < A 3 , което показва, че ъглополовящата на < A 3
)
)
)
)
2 2
минава през точката O. По същия начин доказваме, че и ъглополовящите
на всички останали ъгли на правилния n-ъгълник минават през точката O.
Следователно окръжността k (O; OM) е вписана за многоъгълника.

Да отбележим, че от начина, по който доказахме теорема 2, следва още
едно забележително свойство на точката O, а именно равенствата OA 1 =
OA 2 = OA 3 = . . . = OA n . Тези равенства показват, че окръжността k 1 (O; OA 1 )
е описана за правилния n-ъгълник. По този начин получихме следната

Теорема 3
Около всеки правилен n-ъгълник може да се опише
окръжност.

∗
89