Page 92 - M11_2024

Решение:
n − 2
Използваме теорема 1 и получаваме, че 150 = 180 ⇒ n = 12 и сле-
◦
◦
n
дователно дължината на страната на многоъгълника е a = 36 : 12 = 3 cm.
180 ◦
Прилагаме теорема 4 и получаваме, че a = 2r tg = 2r tg 15 . Следовател-
◦
12
1, 5 1, 5
но r = ≈ ≈ 5, 6 cm. От формулата за лице на кръг получаваме
tg 15 ◦ 0, 267949
2
2
S = r π ≈ 31, 36π ≈ 98, 5 cm .
Задачи
1. Ъгълът на правилен (n + 1)-ъгълник е с 4 по-голям от ъгъла на пра-
◦
вилен n-ъгълник. Намерете n.
2. Намерете лицето на равностранен триъгълник, за който R 3 − r 3 = 1.
3. Ъгълът на правилен многоъгълник е 144 , а периметърът му е 60 cm.
◦
Намерете лицето на описания около многоъгълника кръг.
4. Ъгълът на правилен многоъгълник е 160 , а радиусът на описаната му
◦
окръжност е 5 cm. Намерете лицето на вписания в многоъгълника кръг.
sin 20 ◦
5. От кръг с лице 121π е изрязан правилен 20-ъгълник. Намерете периме-
търа на получената фигура.
√
6. Намерете лицето на квадрат, за който a 4 + R 4 = 4 + 2 2.
7. Даден е правилен шестоъгълник ABCDEF със страна a. Намерете ли-
цето на триъгълника ACE.
8. Около квадрат със страна a е описана окръжност и около тази окръж-
ност е описан правилен шестоъгълник. Намерете периметъра на шестоъ-
гълника.
9. Два правилни многоъгълника имат равни страни, но ъгълът на единия
е два пъти по-голям от ъгъла на другия. Намерете отношението на лицата
на двата многоъгълника.
Упътване: Докажете, че многоъгълниците са съответно шестоъгълник и
триъгълник.
10. Докажете, че сборът от разстоянията от произволна вътрешна за да-
ден правилен многоъгълник точка до страните му е константа.

91