Page 96 - M11_2024

9. Намерете лицето на равнобедрен трапец с периметър P, височина h и
остър ъгъл α.

10. Ъглополовящите на ъглите < BAD и < ADC на трапеца ABCD се
)
)
2
)
пресичат в точката O. Намерете страните AD и DC, ако cos < BAD = ,
√ √ 3
OC = 7, OB = 3 15 и AB = 5DC.
11. Докажете, че ако четириъгълник със страни a, b, c, d и полупериметър
p
p е вписан в окръжност, то лицето му е S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d).
12. Докажете, че ако четириъгълник със страни a, b, c и d е едновременно
√
вписан и описан в окръжност, то лицето му е S = abcd.
13. В окръжност с радиус 1 е вписан четириъгълник ABCD, за който
AB = 2, < BAD = α и < ABC = β. Намерете, лицето на четириъгълника.
)
)
14. Четириъгълник ABCD със страни AB = 3, BC = 5 и диагонал AC = 7
е вписан в окръжност, центърът на която лежи на диагонала BD. Намерете
лицето на четириъгълника.
15. Намерете лицето на вписан в окръжност четириъгълник със страни
1, 2, 3 и 4.
16. Даден е четириъгълникът ABCD, в който AB = 5, BC = 6, CD = 5,
1
DA = 4 и cos < DAB = − :
)
5
а) намерете лицето на четириъгълника;
б) докажете, че четириъгълникът е вписан и описан и намерете радиусите
на описаната и на вписаната му окръжност.
17. Даден е четириъгълник ABCD, в който AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD =
√
1 7 21
)
)
33 cm, cos < ABC = − и sin < ACD = . Намерете периметъра и лицето
на четириъгълника. 6 33
18. Даден е правилният дванадесетоъгълник A 1 A 2 . . . A 12 . Докажете, че
четириъгълникът A 1 A 4 A 7 A 10 е квадрат и ако страната му е a, намерете ли-
цето на дванадесетоъгълника.
19. Намерете страната на правилен шестоъгълник, който е равнолицев с
равнобедрен трапец с основи 12 и 20 и за който е известно още, че центърът
на описаната му окръжност лежи върху голямата му основа.

20. Даден е квадрат със страна a. Докажете, че е възможно с прави, успо-
редни на диагоналите, да се отрежат от квадрата четири триъгълника така,
че останалата част да е правилен осмоъгълник. Намерете лицето на този
осмоъгълник.
21. Докажете, че диагоналите на правилен петоъгълник при пресичането
си образуват правилен петоъгълник.

95